2 条件假设
1.整个铁心柱的硅钢片出了长度，其它如厚度，表面绝缘漆膜厚度，平整度都相同；
2.硅钢片之间是没有形变的压紧；
3.叠片系数是确定的已知数；
4.油道对称分布；
5.不考虑工艺过程的影响。
3 符号说明
第i级叠片的的厚度；
第i级叠片的宽度；
叠片系数；
铁心柱理论外接圆的直径，也等于理论线圈内筒直径；
第i根油道与直径之间的；
油道分割出来的分块面积；
多级阶梯形前i级厚度之和；
线圈内筒的公差值；
4 问题分析
4. 问题背景
变压器是一种应用电磁感应原理把电能从一个电路传到另一个电路的电磁装置。它在电路中起变压，变流，变电阻的作用。它由三部分组成：铁心，起导磁，助磁作用；而是初级线圈，接电源，起激磁作用；三是次级线圈接负载，利用不同次初级线圈匝数比，实现变压，变流，变电阻的作用。
在变压器的构成里，铁心柱是很一个十分重要的组成部件。
因为铁心柱的形状，截面积，叠片的选择，叠片的相关工艺过程都会影响将来变压器的使用效果和寿命，以及使用成本。
我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸，根据多年的生产经验，在长期的生产研究过程中，各生产厂产生了对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效益的同时降低变压器成本。
4.1.
铁心柱是安装在线圈筒里面的，理论上，在线圈的直径确定了的情况下，铁心柱的有效面积越大，铁心的电阻越大，使铁心的铁损最小，因而可以减少能量损耗，变压器的使用性能会越好，使用寿命较长。为了充分利用空间和便于生产，铁心柱截面长采用多级阶梯形结构，用不同长度的硅钢片，堆叠成不同厚度的级，并且选择合适的级数去逼近与之配合的铁心线圈圆，期望得到的有效面积最大，获得更大的电阻。
截面优化设计是以保证到达设计标准为前提，尽可能改善和提高产品的使用效果，使产品竞争力提升。
4.2
公差是生产中允许工件尺寸和几何形状变动的范围，用来限制误差。工件的误差在公差范围内才为合格。规定公差是为了保证产品使用性能的前提下，给出尽可能大的公差。因为公差越小，精度越高，生产成本就越高。去较大的公差，有利于控制成本。
设计时要求留有一定的间隙边缘和维修，因此铁心柱和外围线圈的配合应该是间隙配合。
我们根据《变压器设计手册》查询得到的GB的线圈内筒和铁心柱的直径差
公差
直径（mm） 70-200 205-255 260-500 500-650 650-800
公差 (mm) 5 8 10 12 14
理论数值的铁心柱外接圆和线圈内筒直径，它们在配合的时候，采用间隙配合。由于生产硅钢片的时候，是以满足铁心柱的设计尺寸为参照的，用来装配铁心柱的时候，它们的宽度是一系列已经确定的数值，不可能因为包裹铁心柱的线圈内筒的直径的增大而增大。
即当线圈内筒的直径变化的时候，多级阶梯形的各级的宽度是不可能变化的。为了获得更好的截面积，或者增大截面积的值，我们可以将多级阶梯形的某一级的叠片数增加，从而增加该级厚度，去逼近实际尺寸的线圈内筒。
增大线圈内筒的直径，再增大某级的厚度，获得更大的有效截面积。我们认定有让效截面积增加率最大的那个偏差，就是铁心柱公差的最大值。
据此选择合适的公差带，来获得最大的有效面积增加率。
4.3.1
由于变压器工作时铁心柱有铁心损耗，外围线圈有电阻，电流通过的时候会产生热量。为了改善铁心散热，在铁心柱的直径达到380mm以上，就需要增加油道，让油循环达到散热的目的。
在考虑添加油道的时候，需要让油道分割的各部分的面积近似相等。为了达到这个要求，我们以各个分割面积相等为约束，对称布置油道，建立起方程组，用以先确定下油道的具体位置。
确定油道位置之后，再根据铁心柱有效截面积最大的要求，可以分步用硅钢片将各个油道之间的分块堆叠。在各个分区里面，在满足各项设计要求的情况下，求堆叠的最优方案，使得各个分区的截面积最大。最后将各个面积进行叠加，各个分区的硅钢片进行参数汇总，就可得最终的最优方案。
4.3.2
对于变压器铁心柱的级宽，都可以通过已知的直径算出相应的厚度，因此可以转化为以各级的宽度为变量的数学模型。由于现有的各直径铁心柱的级数都是参照生产经验，认为要达到一定的级数才能满足一定的几何截面积，而没有科学的精确的求解过程。因此设想通过对模型的计算所得出的数据，只要在满足一定的几何截面积的前提下，如果能减少级数，便可减少生产成本。
5 模型建立求解
5.1.1
问题一的数学模型：
当铁心柱的外接圆直径为650mm时，根据要求可知级数应该在12到14之间。由变压器铁心设计的各项要求为约束条件，我们以铁心柱有效截面积最大为目标函数，建立了一个非线性整数规划的模型。
约束条件
硅钢片的宽度为5mm的倍数：
（ k为正整数）
多级阶梯形的第一级厚度最小为26mm:
硅钢片的宽度最小为20mm，就是最后一级的宽度最小为20mm
最大宽度为直径：
多级阶梯形中，每级的宽度必须是递减的：
（）
I级及i级之前的厚度之和与i级的宽度之间还必须满足勾股定理：
该多级阶梯形的几何截面积为：
其中（n=12，13，14）
目标函数：
我们认为所有硅钢片的叠片系数是相同的，即是确定的常数，
求有效截面积最大：
综上可知：
为确定铁心柱直径为650mm时候的最佳设计方案，以有效截面积最大为目标，在满足各项结构设计要求的约束下，我们建立了模型一：
目标函数：
5.1.2 模型一的求解：
将以上模型代入编写的matlab程序中予以求解（程序见附件），得到如下最优化
表 I 直径650mm方案对比
硅钢片参数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 面积 面积使用率(%)
宽度（mm） 640 620 590 560 520 480 435 385 330 270 200 115 319405 96.26
长度（mm） 114 82 78 57 60 48 45 41 36 31 27 21
宽度（mm） 640 620 595 570 535 500 460 415 370 315 260 190 110 320240 96.51
长度（mm） 114 82 66 51 57 46 44 41 34 34 27 26 19
宽度（mm） 640 625 600 575 545 515 480 440 400 350 300 245 180 105 320230 96.50
长度（mm） 114 65 71 53 51 42 42 40 34 35 29 25 23 17
对比可知，所要求的铁心柱有效截面积最大的最优方案为14级，各级宽度和长度可由上表可得
5.2.1问题二模型
公差等级是确定尺寸精度的等级，国家标准是按照不同的基本尺寸分为20个等级。由于电力变压器不像机械设备那样需要承受大的负荷，比如说轴承那样的高速旋转，像发动机那样的剧烈复杂的机械运动，承受如此复杂的力，振动，高温高压等复杂严苛的工作状况，我们认为电力变压器的公差等级为18，已经足够满足它的使用了。
根据变压器设计即为合格产品的最大范围区间，然后在这个范围内根据最优化截面的思想，即求最大的有效截面增加率的所对应的es值，就是它的公差最大值。
考虑铁心柱和线圈内筒的配合的时候，我们先以铁心柱的尺寸完全符合设计尺寸，即没有误差。以铁心柱为参考，考察线圈内筒直径的增加，以及直径增加引起的多级阶梯形某一级厚度的增加，最终导致的铁心柱有效截面积的增加。能够让有效截面积增加到达最大的那个值就是公差的最大值。
据此我们建立起了非线性整数规划模型二：
目标函数，线圈内同直径增加，铁心柱各级叠片厚度变化之后有效截面积达到最大 ：
约束条件：
重新计算的公差要在GB范围之内：
其中D为某个确定的直径，
表 公差取值
直径（mm） 70-200 205-255 260-500 500-650 650-800
公差 (mm) 5 8 10 12 14
硅钢片的级数不会变化，各级硅钢片的宽度和理论最优设计尺寸相等，且不会变化
其中，D为之间的任意值，是直径D所对应的最大公差。
是对应直径为D的铁心柱最优方案中，多级阶梯形各级的宽度。
我们根据铁心柱有效截面积最大的设计要求，让处于直径为D的时候，选择合适的多级阶梯形的级数，各级的厚度和宽度的最优方案，此计算结果我们放在附录里。
改变多级阶梯形各级厚度之后，铁心柱在增大直径后的线圈内筒之内，即各级尺寸满足勾股定理：
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