对刚体脱离支撑面问题的讨论

对刚体脱离支撑面问题的讨论
祝智浩
（温州大学 物理与电子信息工程学院，浙江 温州325000）
 摘要：本文从一习题出发，通过发散思维改变原型，将其抽象成一物理模型，并利用这个模型，解决了一系列脱离问题。
关键词：刚体；脱离；模型；发散性思维

 
 问题引入
 在铅直平面内有一光滑的半圆形管道（见图一），半径为，管道内有一长为，质量为的链条。假设链条由于轻微扰动而从管口向外滑出，试用角动量定理求出链条位于任一角度时的速度[1]。
 其解如下，体系的力矩为：

体系的角动量为：，根据角动量定理，求解速度，得
。

模型建立
 如果不是在管子里，不受到管道外表面对其的压力，这铁链还能依附在上面吗？猜想该铁链势必在某一位置脱离；于是，建立脱离模型：
 在一坐标系有一坡面，质量为M的一物体从上滑下（为了简化问题，设物体为无滑滚动），其质心到接触点0的距离为ρ；如图二，受力分析得：
   
 这类刚体脱离支撑面的题目，一般都由以下几个步骤
进行求解：
受力分析；
分析质心的运动方程；
利用机械能守恒列出方程；
利用脱离条件T=0；
利用无滑滚动条件；
求解方程或方程组得解。

推广应用
 最简单的情况，当物体可以简化为一质点的时候，如图三，半圆面上有一质点，时质点静止于光滑半圆面最高点，给予轻微扰动，求质点脱离半圆面的位置。
，令，得，即。
 当物体不能看做质点而是刚体时，如图四：半径为的匀质小球自半径为的打球顶部由静止开始受到微小扰动而无滑动地滚下，大球固定不动，试求小球开始脱离大球时的角度[2]。
 受力分析，受到重力，支持力和摩擦力三个力；小球在角度处的质心方程：
----------1，
机械能守恒，有
----------2，
其中 [4]----------3，
又有脱离条件 ------4，
无滑滚动条件 ---------5，
由1、2、3、4、5解得，。
 比较以上两个例子，可知，当不能忽略小球形状大小时，将小球看做刚体，且摩擦系数使得其做纯滚动，那么，小球脱离大球的角度要大点。
 回头解决问题引入中所提出的问题，当链条不受到外管壁压力，即假设链条在半径为的半圆形支撑面上(如图五)，上有一长为，质量为的链条。假设链条由于轻微扰动而滑动，试求角度为时的速度。
 已知当链条没有脱离时，

分析最左边的，那么对最左边的有：
运动方程：，代入，
得；脱离条件，得，即。用作图法求解该超越方程再用mathematica的FindRoot函数求得数值解，可知，当时，链条开始脱离支撑面。
 换一个支撑面来看问题，如图六，有一个大球正好静止在桌边上，且球与桌子有摩擦。若对球轻轻一推，使球滚下桌子，试求球不再接触桌子的瞬间球的速度[3]。
 球心绕支点转动，故球的重心的运动是圆，其质心运动方程
 -----1，机械能守恒，得
 -----2，
 脱离条件-----3，无滑滚动 -----4，
 又有[4]----5，
 综合1、2、3、4、5，解得。
 将球体换成杆，其情况又是如何。如图所示，长为的均匀细杆水平地放置在桌面上，质心离桌边缘的距离为a，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的动摩擦因数为μ[3]。问试求杆脱离桌角前是否滑动，如果是，计算开始滑动的临界角。
 无滑动时，杆绕过A点的固定轴做定轴转动，由转动定律 -------1，
其中--------2，则未离开前质心运动方程，
由1，有，利用时，积分得------5。
将5代入3，并利用2，得------6
将1代入4，并利用2，得------7
 假设杆脱离桌角前没有滑动过，则令便可求杆脱离桌角时的角度
假设杆脱离桌角前滑动过，则令------8。由6、7、8有整理得，，。所以，杆子在脱离前滑动过，滑动的临界角为。

小结
 本文从不同的方向，不同的途径，不同的角度，让我们看到了同一模型下的不同变体，但是万变不离其中，只要把握住脱离的条件，问题便迎刃而解；在解决不同变体中，又让我们看到了发散性思维的闪光点，做题就要这样——带有思考，带有发散性思维。

参考文献
 [1]、金尚年、马永利，《理论力学》（第二版）[M]，北京，高等教育出版社，2002：30
 [2]、范小辉，《新编高中物理奥赛指导》[M]，南京,南京师范大学出版社，2005：229
 [3]、范小辉，《新编高中物理奥赛实用题典》[M]，南京,南京师范大学出版社，2005：231-240
 [4]、漆安慎、杜婵英，《力学》（第二版）[M]，北京，高等教育出版社，2005：221-227

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