2.1多体系统理论概述
多体系统理论是研究多体系统问题的一门科学，具有很好的通用性、系统性，尤其是电子计算机高速发展的今天，多体系统理论利用计算机程序和算法进行复杂系统动力学和运动学的计算，满足了经典动力学和运动学理论不能解决的复杂问题分析计算的需要。多体系统是对工程实际中大量涌现的多个刚体或柔体通过某种形式联结的工程对象的概括和抽象，是分析和研究机械系统的最优模型形式。任何机械系统都可以通过概括、抽象，提炼成多体系统。多体系统理论已在机器人、多轴机床等机构的运动分析与控制中得到应用。但是迄今众多体系统理论流派均侧重于多体系统动力学的研究，而对多体系统运动学理论的运用研究多集中在理想刚体的运动情况，未建立起实际条件下的多体系统运动学理论，这也在一定程度上阻碍了多体系统运动学理论的实际应用。
2.2 多体系统拓扑结构的描述
多个物体通过没有特定的形式连接起来就构成多体系统。对多体系统的拓扑结构加以描述并建立多体系统的低序体阵列，是多体系统理论的基本问题。机械系统结构形式多种多样，如床身有立式、卧式、龙门式等，通过拓扑的方法描述，可以将复杂的结构抽象成简单的体的形式。图2-1就是一个典型的多体系统，通过低序体阵列，可以将任何一个物体追溯到大地坐标系中去。设惯性坐标系为体，任选一体为体，然后沿远离体的方向，以增长数列标定每个物体的序号，从系统的一个分支到另一个分支，直到全部物体标定完为止，图2-2是对图2-1系统的编号的结果，令标定脚码与各数字对应。
图2-1 多体系统
图2-2 对图2-1多体系统的编号
可见除以外，每个物体都有一个相邻的较低序号物体。当推导运动学和编制计算方法时，需要为系统中每个物体的较低序号物体制定一个表格，用表示，称为“较低序号物体阵列”，表示物体的序号。令为待研究系统所在的参考系，把看作的较低序号物体，则的序号应为0。
对图2-2的系统，当时，为
（2-1）
多体系统低序体阵列描述了开环多体系统的拓扑结构的特点。根据多体系统示意图就能写出反之，已知就能画出多体系统示意图。
图2-2所示的多体系统的低序体阵列描述，见表2-1。
表2-1中为多体系统中典型体的序号，为典型体的n阶低序体的序号，可表示为
（2-2）
式中 ——为低序体算子；n, k ——为正整数。
由式（2-2），典型体的相邻低序体可表示为
（2-3）
且补充定义
（2-4）
（2-5）
表2-1 多体系统的低序体阵列
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 1 1 5 6 6 8
0 0 1 0 0 1 5 5 6
0 0 0 0 0 0 1 1 5
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
作为低序体阵列的补充，其他三种阵列在推导运动学算法时也很有用。即“末端体阵列”、“分支体阵列”和“中间体阵列”。顾名思义，“末端”体即位于系统边界点上的物体，“分支”体是含有多于一个分支的物体，即非末端体，又非分支体，称为“中间”体。
在图2-2中的多体系统，末端体为、、 ，没有相邻更高体序号物体的那些物体即可判断为末端体，所以，末端体是表2-1中那一行没有列出的物体。在图2-2中，分支体为和，凡是有一个以上相邻更高序号物体的那些物体即可判别为分支体，所以，分支体是表2-1中那一行有重复序号的那些体。在图2-2中，中间体为、和，与末端体和分支体一样，也可由对行的检查而确定中间体，即中间体是在表2-1中那一行出现一次，且仅出现一次的物体。
2.3 多体系统中典型体的物理描述
图2-3 理想情况多体系统中的典型体及其相邻低序体
多体系统中的典型体及相邻体（）如图2-3所示。体的运动参考点为，它固定在上，其相对于原点用固连在体上的位置矢量描述。用相对于的位移矢量描述体相对于体的相对移动。在和体上分别固连了动坐标系：，，和：，，，分别称为体参考坐标系和体参考坐标系，则称右旋正交基矢组、、相对于右旋正交基矢组、、的变化就表示了体相对于体的转动。令变换矩阵的各元素分别为
（m，n=1，2，3） （2-6）
则右旋正交基矢组、、相对于右旋正交基矢组、、的关系表达为：
（2-7）
变化矩阵描述了相邻体参考坐标系间的相互变换关系，称之为相邻体变换矩阵。
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