误差分析在编制考试题时的应用 陈奋策
误差分析在编制考试题时的应用 陈奋策
福建教育学院 350025
误差分析的应用贯穿物理实验的始终，从实验的设计到实验数据处理和分析。可以用绝对误差，也可用相对误差的传递公式考虑问题；考虑各项分误差影响时，不仅决定于直接测量值得误差，还与误差的传递系数有关；分误差之间相比，很小的可以略去；总误差往往决定于某个主要因素；在选用仪器时要结合各量的实际测量误差考虑，选用正确和最合理的方案。
在编制有关物理测量的考试题时，要应用误差分析知识来估算，或作单项误差估计（不一定都要全部写出误差的数学表达式来）。不然，可能会出现不该发生的错误和误导。下面举几个误差分析在编考试题时的应用例子。
例1：（2002夏季高考物理广东广西河南卷 ）有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度．已知该单摆在海平面 处的周期是．当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为Ｔ．求该气球此时离海平面的高度ｈ．把地球看作质量均匀分布的半径为Ｒ的球体．
解：根据单摆周期公式，有 ① ②其中是单摆长度，和分别是两地点的重力加速度．把地球看作质量均匀分布的半径为Ｒ的球体，根据万有引力公式 ③得 ④ ⑤其中Ｇ是引力常量，M是地球质量．由以上①②④⑤式解得 ，即有
，或 ⑥
由误差理论，的误差
⑦
其中为周期的测量误差。如果周期的相对测量误差，测得该气球此时离海平面的高度为
⑧
地球半径多大? 测量误差又有多大?如果按教科书通常取千米，误差千米。据报道，不密封舱载人气球只能升到h=13千米高空，因空气已很稀薄。以h=13千米计，相对测量误差，误差太大，不好用此法测量高度。
科学家设计出能保持地球表面空气压力和温度的密封舱，人类得以进入更高的大气层。20世纪30年代，载人气球已能上升到h=34.5千米的高空。以h=34.5千米计，相对测量误差，误差太大，不好用此法测量高度。
有个别地区的高考题和不少中学把用单摆测高法延用到测量山的高度，结果更不可接受，见下例：
例2：利用单摆用实验法来确定登山的高度．把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体．
解：由单摆周期公式有重力加速度 ，变形为
⑴
改变摆长，测定相应单摆周期，并作关系曲线图，斜率，用作图法求得，求得 。
我们知道，其中G是万有引力常数,M是地球质量,R是地球半径。如果测出g，可求离海平面高度
⑵
近似地：
⑵近似为
⑶
由误差理论，
⑷
如果重力加速度的相对测量误差，测得山的高度为
⑧
按教科书通常取千米，千米千米，，误差太大。世界最高峰珠穆朗玛峰才海拔h=8.86千米,用单摆测量珠穆朗玛峰高度的相对测量误差。单摆测量一般山高度的相对测量误差更大。用单摆测量登山高度的方法不行。
在大气不太稀薄的高度，可用气压计测高度，如下例3。
例3 用气压计测离海平面高度为z处的压强，从热力学压强公式求高度z，行吗？
解：对压强公式取对数，求微分，取误差的算术合成：
， （1）
其中是z=0处的压强，为空气的分子量（），T 是温度，p是离海平面高度为z处的压强，g 是高度Z处的重力常数，R=8.31焦耳/（克分子*度）是普适气体恒量。如在常温下，z=1000米处，测量高度的相对误差
（2）
如果气压计的相对误差，，可接受。
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