巧用待定系数法妙解06高考数列压轴题 李美君
纵观2006年全国各地的高考试卷，可以发现数列通项的探求已成为数列问题的一个重点，那如何探求一个数列的通项呢？高考参考答案都是直接构造出新数列使其为等差数列或等比数列，没有暴露思维过程，对大多数考生来说，如何思考，如何构造，极为棘手。本文试图通过2006年全国各地高考数列压轴题的分析与探索，对数列通项的各种类型加以分析、归类，寻找一种简便通用的方法来解决此类题，以便在平时的数学教学和总复习中有计划、有目的，分层次、分阶段地逐步渗透。经过分析归类发现待定系数法可妙解此类压轴题，下面就此问题做个系统分析。
一、为非零常数）型
只需待定系数构造成新的等比数列。
例1：已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
(2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科第22题)
解：令，得x=-1，所以
二、为常数且 型
常见有两种待定系数法：一是转化成类型一求解；二是构造成新的等比数列，即。
例2：已知数列｛｝中，，点在直线上，其中=1,2,3…。
（I）令，求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项；
(2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科第22题)
解1： ,
令：,则
，即；
对第(II)题
解2：， ，
， 。
然后做第(I)题，，是以为首项，为公比的等比数列。
三、为非零常数，且不等于1）型
常见有两种待定系数法：一是两边同除以转化为类型一求解；二是构造出新的等比数列求之，即。
例3：设数列的前项的和，n=1,2,3,……
（Ⅰ）求首项与通项；
(2006年普通高等学校招生全国统一考试理科第22题)
解1：，，
即
解2：，
得x=1，
是以4为首项，4为公比的等比数列，
四、为常数）型
关键是将相邻三项递推关系转化为相邻两项与的关系，令，则 是等比数列。
例4：．已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；
(2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科第22题)
解：令，，
得或，
则数列是公比为2的等比数列；
对（II）， 迭加得，
五、（其中p,q,r,s均为常数）型
可用函数不动点加以待定系数。令⑴，若方程⑴有两个相等的根，则数列是等差数列；若方程⑴有两个不相等的根，则数列是等比数列。
例5：设数列的前n项和为，且方程有一根为，n=1,2,…
（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式．
(2006年普通高等学校招生全国统一考试理科（理工农医类）第22题)
解：（Ⅰ）易得 ；
（Ⅱ）由题意得.
当n2 时，
,解得x=1,
例6：已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
⑴求数列｛an｝的通项公式；
（2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第22题）
解：令或，
与相除，
＝，
1－＝，
通过以上几个例题可以看出，用待定系数法可以妙求数列通项，从而解决这类高考压轴题，足见待定系数法解高考数列压轴题的威力。
