数理逻辑初步 秦庆尧
引言：
逻辑学是研究人类正确思维的规律和形式的科学. “逻辑”一词是拉丁文logic的音译，logic一词导源于希腊文logos，有“思维”及“表达思考的言词”之意. 逻辑学分类：
1.形式逻辑：形式逻辑是由古希腊大哲学家亚里士多德（Aristotle,公元前384—322年）创立的. 主要是对思维的形式和规律进行研究的类似于语法的一门工具性学科，思维的形式包括概念，判断和推理之间的结构和联系，其中概念是思维的基本单位，通过概念对事物是否具有某种属性或关系进行肯定或否定的回答，这就是判断；由一个或几个判断推出另一个判断的思维形式叫做推理. 形式逻辑的主要内容还包括关于正确思维的三个基本规律和演绎推理的基本形式：三段论. 这三个定律是：
（1）同一律：A就是A，而不是非A. 在思维和推理的过程中，一个概念必须保证它的外延的确定性和内涵的同一性，用同一个概念去表达两个不同的对象，或用两个不同的概念去表达同一个对象，都是违犯同一律的，违反同一律的逻辑错误叫做偷换概念. 古希腊诡辩学派就是通过这样的办法与人辩论的.
（2）矛盾律：A不能既是B，又是非B. 第二个说法是：命题p不能既真又假. 第三个说法是：命题p与非p不能同真（但可以同假）. 这里的非p与下文的“非p”意义不同，例如，命题p：质数是奇数；非p：质数是偶数. 这两个命题就违反了矛盾律，他们不可能都是真命题，事实上，他们都是假命题.
（3）排中律：A或者是B，或者是非B，二者必居其一. 第二个说法是：命题p非真即假.，二者必居其一.
在十七世纪末，德国哲学家、数学家莱布尼兹又增入了一条：
（4）充足理由律：所以有A，是因为有B.
三段论是演绎推理的形式，由大前提、小前提和结论组成.
亚里士多德在形式逻辑的基础上又提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想. 欧几里德在此基础上创立了公理化方法：尽可能少的选取原始概念和一组不加证明的原始命题即公理，以此为出发点，应用演绎推理，推出各门学科的全部内容. 他的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》、牛顿的《自然哲学的数学原理》、拉普拉斯的《天体力学》、拉格朗日的《分析力学》、拉瓦锡的《化学纲要》等科学名著都是按照公理化方法写成的，所以说，没有形式逻辑，就没有现代数学和现代自然科学.
2.辩证逻辑：辩证逻辑是由19世纪德国哲学家黑格尔创立的. 主要是三个定律：量变与质变规律；对立统一规律；否定之否定规律. 辩证逻辑也叫辩证法，马克思与恩格斯运用黑格尔的辩证法和费尔巴哈的唯物主义创立了辩证唯物主义，影响是巨大的.
3.数理逻辑：也叫符号逻辑，它既是一个数学的分支，也是一个逻辑的分支. 它是用数学的方法研究形式逻辑的学科，所谓数学方法，是指使用符号、公式、公理化方法和一般的数学知识. 主要内容是命题逻辑和谓词逻辑. 现在，数理逻辑又有了四个主要分支：证明论，公理集合论，递归论和模型论. 中学数学中的逻辑内容主要是命题逻辑和谓词逻辑的一点初步知识. 符号逻辑的创立者主要有：莱布尼兹，布尔，摩尔根，皮尔斯，弗雷格，罗素，皮亚诺，哥德尔等人，这些人主要是数学家或哲学家. 学习数理逻辑的意义：它是数学的基础和学习数学的工具；对培养学生的逻辑思维能力有重要意义；数理逻辑是计算机理论的基础，它是计算机专业和人工智能专业的基础课.
二. 命题、开句与量词：
1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫命题.
在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫判断，表达判断的陈述语句叫命题.
判断一个句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述语句，其次看看它能不能判定真假.
下列语句不是命题：
（1）感叹句. 例如，祝你健康！
（2）疑问句. 例如，难道平行四边形的对角线不是互相平分吗？
（3）祈使句. 例如，你快离开这里！
注意：下列陈述句不是命题：纽约离我们沂水很遥远.；方程2x2＋3x＋1=0可能有实根. 这种语句在模糊逻辑中才是命题. 模糊逻辑是1965年由美国的数学家扎德（Lolri Zadeh 1921年—）创立的，到现在还很不成熟.
“教师是人类灵魂的工程师”，这个语句不是命题，这只是一个比喻，无所谓真假. “人为万物之灵” 也不是命题，这只是一个形容，也是无所谓真假的. “张三是东西”也不是命题，因为“东西”的含义不明确，无法对其做出判断. “火星上曾经有水”，这是一个命题，虽然现在还不知道它的真假，但它的真假是客观存在的，随着科学技术的发展，总有一天会知道它的真假的. “我正在说假话”，这不是一个命题，这是一个悖论，所谓悖论，就是由真推出假，又由假推出真的陈述语句，凡是悖论都不是命题.
判断一个语句是不是陈述语句很简单，但是判断一个陈述句的真假有时是很困难的，它与人的思想感情，语言环境，判断标准，认识程度等等有密切联系. “这盘菜太咸”这是一个命题，虽然这个语句的真假似乎不能唯一判定，因为它因人而异，但是我们可以认为这个语句的真假取决于说话人的主观判断，即认为此语句是“我认为这盘菜太咸”的简写. “1＋1=10”这也是一个命题，在二进制中它是一个真命题，在十进制中它是一个假命题，但并不是说它的真值不唯一，既真又假，而是说它的真假与语言环境有关. “水是生命之源”，这是一个命题，判断它的真假，需要生物学的知识. “太阳系有九大行星”，这个命题在2006年8月24日之前是真命题，在2006年8月24日之后就是一个假命题，因为在2006年8月24日晚上9点20分，国际天文学联合会在捷克首都布拉格宣布，太阳系有八颗行星，冥王星不具有行星的资格. 这个命题的真假是受人们对天文学的认识程度决定的.
2.开句：含有变量的陈述语句叫做开语句，简称开句. 例如，“x－1=6”，“x>3”，“x是无理数”，都是开句. 开句也叫命题函数，在谓词逻辑中，开句就是谓词.
开句不是命题，但却是符号逻辑研究的主要对象，是符号逻辑的基本概念. 另外，在数学的好多地方，都用开句作为基本的数学语言. 例如，在集合的表示方法中，有一个描述法｛x︱p（x）｝，其中，p（x）就是开句. 开句一般用p（x），q（x），r（x），…等符号表示，给变量x赋值，就得到命题，用p（a），p（b），…等表示. 这也是开句叫命题函数的原因. 用开句制造命题的这种方法叫做赋值法.
例1 设x∈N， p（x）表示：“x是奇数”. 则p（2）是假命题，p（3）是真命题.
例2 设x∈R，p（x）表示：“x>3”. 则p（5）是真命题，p（2）是假命题.
使开句p（x）成为命题的所有x的集合叫p（x）的定义域，p（x）的值域是一个命题集. 需要注意的是，这里的定义域同函数的定义域是不同的两个概念，这里的定义域类似于集合中的全集，随问题情景的不同而不同. 例如例1中的p（x），它的定义域可以是整数集，也可以是有理数集，实数集，甚至是复数集.
3.量词：在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不再对简单命题进行分解，这也是简单命题也叫做原子命题的原因，在谓词逻辑中，为了要研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，需要对简单命题作进一步的分解，一个命题一般由个体词（主词）、谓词和量词构成，个体词在命题中是被判断的对象，谓词表示个体词具有的性质或关系，谓词是表示个体词内涵的词句，例如，“是无理数”，“”是个体词，“…是无理数”是谓词，可以表示为“x是无理数”，因而也叫一元谓词，一般的用p（x）表示，“5>3”，5，3是个体词，“…>…”是谓词，可以表示为“x>y”，因而也叫二元谓词，一般地用p（x，y）表示，一般地，n元谓词用p（x1，x2，…，xn）表示，一元谓词是表示个体词性质的语句，二元谓词是表示这两个个体词之间的关系的语句，n元谓词是表示这n个个体词之间的关系的语句.
量词：表示个体词数量范围的词叫量词. 个体词的数量范围就是个体词的外延，量词是表示个体词外延的词句，量词有两种：全称量词和存在量词.
19世纪末，美国的哲学家、数学家和逻辑学家皮尔斯（Peirce，1839—1914年）和德国的数学家、逻辑学家、耶拿大学数学教授弗雷格（Frege，1848—1925年）分别独立的在数理逻辑中引入量词这个重要的概念. 全称量词用“”表示，意思是“任意”、“任意一个”、“所有的”.任意一词的英文是Arbitrarg，将它的第一个字母A倒过来用，表示全称量词；存在量词用“”表示，意思是“存在”、“存在一个”、“某些”、“至少有一个”. 存在一词的英文是Existential，将它的第一个字母E反过来用，表示存在量词.
开句不是命题，但却是制造命题的主要材料，用开句制造命题，有三个办法，一个就是上述的赋值法，第二个就是量词法，在开句的前面加上量词就构成命题：“x，p（x）”，是命题，“x，p（x）”，也是命题. 第三个办法是用逻辑联结词和联结两个开句构成命题.
例3 x∈R，x>3； x∈R，x>3. 都是命题.
用全称量词构成的命题叫全称命题，用存在量词构成的命题叫特称命题. 由于全称量词表示个体词的全部外延，往往可以省略不写，例如：“所有质数都是奇数”，可以简写为“质数是奇数”，“x∈R，x>5x>3 ”可以简写为“x>5x>3”. 但一般的，全称命题“x，p（x）”的量词不能省略，省略后就只剩下开句了. 除全称命题和特称命题外，还有一种命题叫做单称命题，它的个体词的外延不是一类事物，而是单独的个体. 例如，“2是偶数”. 这就是一个单称命题. 特别要注意的是，由于全称命题的量词往往可以省略不写，从而将全称命题误当单称命题. 例如，“实数的绝对值是正数”，它是全称命题“所有的实数的绝对值都是正数”的简写，而不是一个单称命题. “直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”，也是一个全称命题. 这方面的例子实在是太多了.
4.命题的分类：
命题分简单命题和复合命题两种. 简单命题和复合命题不是绝对对立的，复合命题经过化简可以成为简单命题，化简的过程就是命题演算的过程. 简单命题又分性质命题和关系命题.
性质命题：判断某一对象具有或不具有某种性质的命题. 关系命题：判断两个对象之间具有或不具有某种关系的命题. 常见的关系有：=，<，>，≈，≡，≠，≤，≥，⊥，∥，≌，∽等.
复合命题有五种：
（1）非命题，记为p，读作“非p”，也叫p的否定式.
（2）联言命题，记作pq，读作“p且q”，也叫p，q的合取式.
（3）选言命题，记作pq，读作“p或q”，也叫p，q的析取式.
（4）假言命题，记作pq，读作“若p，则q”，也叫p，q的蕴涵式，称p蕴含q.
（5）等值式命题，记作pq，读作“p当且仅当q”.
理解这五种命题，可以与集合的补集、交集、并集、集合的包含和集合的相等进行类比，他们的定义在形式上是一致的.
三. 逻辑联结词及复合命题真值表：
1.逻辑联结词：一些命题或开句可用逻辑联结词把它们联结起来构成一个新的命题或开句. 常用的联结词有五种：非（），且（），或（），若…，则…（），当且仅当（）.
非、且、或这三个联结词是最基本的，用它们可以联结命题，也可以联结开句，联结命题得到的语句是命题，连接开句得到的语句仍是开句. 用“若…，则…（）”，“当且仅当（）”可以联结命题，也可以联结开句，无论联结命题还是联结开句，得到的语句都是命题.
2.复合命题真值表：
（1）联言命题与选言命题真值表：
p q pq pq
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 0
（2）非命题真值表：
p p
1 0
0 1
注：矛盾律和排中律：
p p pp pp
1 0 0 1
0 1 0 1
由上表可以看到，无论p是怎样的命题，“ pp”总是假命题，这个规律叫矛盾律，“pp”总是真命题，这个规律叫排中律. 这两个规律是非命题特有的，写一个命题的非命题时，必须注意要同时满足矛盾律和排中律.
（3）假言命题真值表：
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
当pq的真值是1时，即“若p则q”为真命题时，我们说由p可以推出q，此时，pq用pq表示，并且称P是q的充分条件，q是p的必要条件.
注意：（1）“”不是逻辑联结词符，千万不能将与混为一谈.（2）在自然语言中，“若p，则q”中的p，q往往有某种内在的联系，但在数理逻辑中，p，q可以没有任何联系，例如，若太阳绕地球转动，则雪是黑的.（3）在一般数学命题中，pq往往表示p，q都为真的一种推理关系，但在数理逻辑中，p，q的真值是任意的.
这个真值表是弗雷格给出的，这个表的后两行不好理解，可以通过举例的办法理解它.
例1 “若木头是金属，则木头可以锻造”. 这个命题的条件和结论都是假的，但这个蕴涵却是真的.
例2 我们约定“如果天气好，就去野游”，这是一个假言命题：（天气好）（去野游）.如果我们约定“天气好就去野游”时，那么若天气不好时，去野游或不去野游都不违反这个约定，所以，（天气不好）（去野游）和（天气不好）（不去野游）都是真命题. 又，如果要去野游，无论天气好与不好，也不违反这个约定. 只有当天气好，而不去野游时，才违反了这个约定. 所以，（天气好）（不去野游）是假命题.
例3 判断下列命题的真假：
（1）x>5x>3 ；（2） x>3x>5.
解：（1）这个命题是全称命题：x∈R，x>5x>3. “x>5”和“x>3”都是开句，无法判断真假，对x进行讨论才能判断真假.
x>5 x>3 x>5x>3
x∈（－∞,3] 0 0 1
x∈(3，5] 0 1 1
x∈(5,＋∞) 1 1 1
这个表的最后一列的真值全是1，所以, “x∈R, x>5x>3”是真命题.
（2）这个命题也是全称命题：x∈R ，x>3x>5.
x>3 x>5 x>3x>5
x∈（－∞,3] 0 0 1
x∈(3，5] 1 0 0
x∈(5,＋∞) 1 1 1
证明一个全称命题是假命题时，只需举一个反例，证明一个特称命题是真命题时，只需举一个正例. 因为“x∈(3，5)， x>3x>5”是假的，所以原命题是一个假命题.
注意：下列两个命题是真命题：
x∈R，x>3x>5；x∈（－∞，3）(5，＋∞)，x>3x>5.
例4 证明：ФA. 其中，Ф是空集，A是任意集合.
证：ФA若x∈Ф，则x∈A. 因为x∈Ф是假的，所以无论x∈A是真还是假，“若x∈Ф，则x∈A”都是真的. 所以ФA是真命题.
例5 命题“若2＞3，则1＝1”是真命题，即2＞31＝1，所以，2＞3是1＝1的充分条件；命题“若2＜3，则1＝1”是真命题，即2＜31＝1，所以，2＜3也是1＝1的充分条件.
注意：很多人不理解这一点. 事实上，1＝1的成立不需要任何条件，因此，任何条件都可以作为1＝1的充分条件，只是这些条件有些对1＝1来说不必要而已.
5.等值式命题：
p q pq qp pq) (qp)
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
因为(pq) (qp) pq，所以等值式命题的真值表为：
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
当pq的真值是1时，我们说p与q等价，或者说p是q的充要条件，此时，pq表示为pq，由真值表看出，只有当p，q同真，或同假时，p，q才是等价的.
注意：“”不是逻辑联结词符，千万不能将与混为一谈.
注：这五个复合命题的真值表除第五个外，其他四个都是公理.
例6 证明原命题和它的逆否命题等价.
证：
p q pq q p qp
1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1
由上述真值表看到，pq与qp的真值总是一致的，所以，pqqp.
注：当p，q都是真命题时，q，p都是假命题，而蕴涵式qp却是真命题，这从另一个方面加强了我们对假言命题的真值表的认识.
例7 命题“3＞52＞3”是真命题，所以有3＞52＞3，亦即3＞5是2＞3的充要条件.
四. 命题的否定：
写命题的否定时，必须注意：命题和它的否定要同时满足矛盾律和排中律.
1.单称命题的否定：只要否定结论就行了.
例1 已知p：2是质数，非p：2不是质数.
2.含有一个量词的命题的否定（德·摩尔根法则）：全称命题“x，p（x）”的否定是特称命题“x，p（x）”，特称命题“x， p（x）”的否定是全称命题“x，p（x）”.
例2 已知命题p：实数的绝对值是正数. 写出p.
解：p是全称命题：所有的实数的绝对值都是正数. 所以p为：存在一个实数，它的绝对值不是正数.
注：也可以将p写为：实数的绝对值不都是正数. 但不能将p写为：实数的绝对值不是正数. 后一个写法是误把命题p当成了单称命题.
例3 已知命题p：质数是奇数. 写出p.
解：这个命题是：所有的质数都是奇数. p：有些质数不是奇数.（即：质数不都是奇数）.
注意：有些人将命题p当成了单称命题，而将p写成了：质数不是奇数. 这显然是错误的.
3.联言命题与选言命题的否定（德·摩尔根法则）：
（pq）pq；（pq）pq.
证：列真值表：
p q p q pq pq （pq） （pq） pq pq
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
由真值表就能得到上述法则.
4.假言命题的否定：
（1）蕴涵等值式：pqpq.
证：
p q p q pq pq
1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1
由上述真值表可得：pqpq，于是由德·摩尔根法则得假言命题的否定为：
（2）法则：（pq）pq.
例4 已知命题p：若m≤0或n≤0，则m+n≤0. 写出p.
解：这是一个全称命题：m，n∈R，若m≤0或n≤0，则m+n≤0. p是：
m，n∈R，使得m≤0或n≤0，且m+n>0.
例5 已知命题p：若x+y<1，则x2＋y2<1. 写出p.
解：先将命题写成带有量词的形式：x，y∈R，若x+y<1，则x2＋y2<1. p是：
x，y∈R，使得x+y<1，且x2＋y2≥1.
例6 已知命题p：x>3x>5. 写出p.
解：命题p是： x∈R，x>3x>5. p是： x∈R，使得x>3且x≤5. 即： x∈R，使得3<x ≤5. 这正好说明，在3<x ≤5时，原命题是假的.
例7 已知极限的定义： an=aε>0，N，n>N，<ε.写出数列｛｝的极限不是a的定义.
解： an≠aε>0， N， n>N，≥ε.
例8 已知数列的柯西收敛准则：｛｝收敛ε>0，N，m，n>N，<ε.
写出这个收敛准则的否定形式.
解：｛｝发散ε>0， N， m，n>N，≥ε.
这两个例子说明了学习数理逻辑对进一步学习大学数学的必要性，如果不学习它，将很难理解这两个定义的否定形式，凡是学过数学分析的人都有这种体会.
例9 已知命题：是奇数. 写出它的否定.
解：设开句p（x）：x是奇数，其中x∈R, 实数集由三部分构成：
奇数 偶数 非整数
是奇数的否定是：不是奇数. 由于不是奇数是偶数或是非整数，而是非整数是一个真命题，所以，不是奇数也是一个真命题.
注意：是奇数的否定不能写成是偶数. 这两个命题仅满足矛盾律，而不满足排中律. 两个命题都是假命题.
例10 已知i是虚数单位，命题：i>0. 写出它的否定.
解：i>0的否定是：i不大于0.
注：设开句p（x）：x＞0，其中x∈C，复数集由四部分组成：
大于零的实数 等于零的实数 小于零的实数 虚数（不等于零）
i>0的否定不能写成：i≤0. 因为i>0和i≤0只满足矛盾律，而不满足排中律，都是假命题.
i不大于0 i等于零或i小于零或i≠0（i是虚数），因为i≠0（i是虚数）是真命题，所以i不大于0也是真命题.
例11 已知命题：2 ＞0. 写出它的否定.
解：2 ＞0的否定是：2≤0（也可以写为2不大于零）.
由这三个例子可以看到，写某些命题的否定时，先搞清得出这个命题的开句的定义域，是很重要的. 只有搞清了这个问题，写出的非命题才不违反矛盾律和排中律.
5.等值式命题的否定：将“当且仅当”改为“不等价于”就行了.
注意：命题的否定也叫非命题，它与四种命题的关系中的否命题是两个不同的概念，千万不能将它们混为一谈. 任何一个命题都有非命题，但是并非所有的命题都有逆命题、否命题和逆否命题，“四种命题”是专门针对“若p则q”型命题而说的；命题“若p则q”的非命题是“p且非q”，而否命题是“若非p则非q”. 好多命题都可以写成“若p则q”的形式，但并非所有的命题都能写成“若p则q”的形式. 例如命题：某些三角形没有外接圆. 这个命题就不能写成“若p则q”的形式. 不能写成“若p则q”的形式的命题实在是太多了.
五. 数理逻辑（命题演算和谓词演算）等值式：
双否律：（1）AA；
等幂律：（2）A A A；（3）A A A；
交换律：（4）AB BA；（5）AB BA；
结合律：（6）（AB）C A（BC）；（7）（AB）C A（BC）；
分配律：（8）A（BC）（AB）（AC）；
（9）A（BC）（AB）（AC）；
德·摩尔根律：（10）（AB） A B；
（11）（ AB） A B；
吸收律：（12）A（AB） A；（13）A （AB） A；
零幂：（14）A 11；（15）A 00；
同一律：（16）A 0 A；（17）A 1 A；
排中律：（18）A A1；
矛盾律：（19）A A0；
蕴涵等值式：（20）ABAB；
等价等值式：（21）AB（AB）（BA）；
假言易位：（22）ABBA；
等价否定等值式：（23）ABAB；
归谬论：（24）（AB）（AB）A；
量词否定等值式（德·摩尔根法则）：（25）（xp（x））x p（x）；
（26）（x p（x））xp（x）；
18.量词分配等值式：（27）x（A（x）B（x））xA（x）x B（x）;
（28）x（A（x）B（x））xA（x）x B（x）.
注意：（27）为对的分配，（28）为对的分配，但不存在对、对的分配，这一点必须清楚. 但是，在证明论上，关于量词分配的推理定律有：
xA（x）x B（x）x（A（x）B（x））；
x（A（x）B（x））xA（x）x B（x）.
推论：（29）x（A（x）B（x））x（A（x）B（x））
（30）x（A（x）B（x））x（A（x）B（x））
例1 已知命题p：正方形的对角线相等；q：正方形的对角线互相平分. 写出pq.
解：pq：正方形的对角线相等且正方形的对角线互相平分. 由于命题p和q都是全称命题，所以，根据等值式（27），pq可以简写为：正方形的对角线相等且互相平分.
例2 已知命题p：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x<2；q：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x>3. 写出pq.
解：pq：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x<2或不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x>3.
注意：由于命题p，q都是单称命题，而不是特称命题，所以，pq不能写为：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x<2或x>3. 事实上，这个命题是一个简单命题，命题中的或联结两个开句x<2和x>3构成一个新的开句x<2或x>3，这个开句作为这个命题的谓词是一个整体，与复合命题pq中的或意义不同.
例3 已知命题p：有些实数是整数；q：有些实数是分数. 写出pq.
解：pq：有些实数是整数或有些实数是分数. 由于这两个命题都是特称命题，所以可以将
pq写为：有些实数是整数或分数.
例4 已知命题p：正方形的对角线互相平分且垂直. 写出非p.
解：利用推论（29），非p是：有些正方形的对角线不互相平分或不垂直.
六. 推理理论：
从逻辑学上讲，数学内容是这样呈现的：概念构成了判断和命题，判断和命题构成了推理，推理构成了证明. 整个数学大厦就是这样建立起来的. 用两个或几个判断（命题）获得一个新的判断（命题）的逻辑方法叫推理，推理有两种：一种是合情推理，主要包括归纳和类比，一种是逻辑推理. 归纳推理的逻辑方法是由特殊到一般，类比推理的逻辑方法是由特殊到特殊，由合情推理得到的结论不一定正确，它是发现新知识的主要方法. 逻辑推理也叫演绎推理，它是由一般到特殊的推理，由演绎推理得到的结论是正确的. 演绎推理具有三段论法的形式（公理）：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结 论：S是P.
下面简单的介绍一下推理理论.
由假言命题真值表我们得到：“若p则q”是真命题有下列三种情况：
（1）p和q都是真命题；（2）p是假命题，q是真命题；（3）p和q都是假命题.
这三种情况下，我们都说由p可以推出q. 因此，由“若p则q”为真，我们并不能得出p和q的真假来，但是，我们通过假言命题真值表可以得到：
1.推理定律1：由条件“若p则q”为真命题，并且p为真命题，我们可以推出q为真命题的结论. 即：（pq）pq.
这是推理的基本法则，被称为分离法则，这是三段论推理的一种形式.
2.推理定律2：由条件“若p则q”为真命题，并且q为假命题，我们可以推出p为假命题的结论. 即：（pq）qp.
这也是三段论推理的一种形式.
由于这两个推理定律的大前提都是一个假言命题，所以这两个推理定律都叫假言推理.
由选言命题真值表我们得到：
3.推理定律3：由条件“pq”为真命题，并且p为假命题，我们可以推出q为真命题的结论. 即：（pq）pq.
这也是三段论推理的一种形式. 由于大前提是一个析取式命题，所以叫做析取三段论.
主要的推理定律还有：
4.p pq.
5. pqp.
6.假言三段论：（pq）（qr）pr.
7.等价三段论：（pq）（qr）pr.
例1 判断下列推理是否正确：
（1）如果天气凉快，张三就不去游泳，今天天气凉快，所以今天张三没去游泳.
（2）如果我上街，我一定去书店，今天我没上街，所以今天我没去书店.
（3）如果我上街，我一定去书店，今天我去了书店，所以今天我上了街.
解：（1）由分离法则可知，这个推理是正确的.
（2）设p：我上街；q：我去书店. 这个推理的形式结构为：（pq）p q. 我们由假言命题真值表可知，由条件“若p则q”为真，且p为假，是无法推出q的真假来的. 所以这个看似正确的推理，事实上是不正确的.
（3）这个推理的形式结构为：（pq）qp. 由假言命题真值表可知，由条件“若p则q”为真，且q为真，是无法推出p的真假来的，这个看似正确的推理，其实也是不正确的.
数学课程标准将“常用逻辑用语”和“推理与证明”分别放到选修1—1和1—2（文科）或选修2—1和2—2（理科）中去，是不合理的，因为这两个内容都是属于数理逻辑的.
参考文献：
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2.龚雷. 关于命题的学习与思考；徐彦明. 试析关于命题的困惑；秦庆尧. 简易逻辑教学中存在的问题. 中学数学教学参考，2002年第9期.
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5.耿素云等著，《离散数学》. 清华大学出版社，1999年2月.
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7.普通高中教材《数学》选修2—1. 人民教育出版社.
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10.寿望斗著，逻辑与数学教学. 科学出版社，1979年.
11.[美] 《统一的现代数学》第二册第一分册（美国中学数学教材），王申怀译，人民教育出版社，1978年.
12.左孝凌等著，《离散数学》. 上海科技文献出版社，1982年9月.
（本文写作时间大约在2005年10月—2006年1月）
