解析几何中离心率e范围解题策略
宁波市北仑区柴桥中学 徐泽绕
求离心率e 的范围是解析几何中常常考查的一类题，它涉及的知识面广，综合性大，所以难度也较大，且能很好的考查学生的综合能力和数学素养，但是学生往往因为建立不了不等式关系，或理不清思路感到无从下手。本文通过几个例题谈谈几类常见的求离心率e的解题策略。
一、利用曲线的范围
例1、设椭圆c: ＋＝1长轴的两端点分别为A、B,若椭圆上存在一点M使∠AMB＝,求该椭圆离心率e的值范围（第十三届希望杯高二培训试题）
分析：显然求离心率e范围最好如何建立起关于a、b、c的不等式关系。
解：设M (x,y) ∵ A(-a ,0) , B(a ,0)
∴＝，＝ 又∵∠AMB＝
∴tan＝＝，即()＋＝0 ()
又∵＋＝1, ∴ 代入 ()，得
∵∴＝, ∵ ∴
即4, ∴
∴ (2舍去) ∴ ∴∈[，1]
点评：本题主要就是利用椭圆的范围中，建立不等式关系，这种题型隐蔽性强，所以难度也较大。
二、利用三角函数的有界性
例2、椭圆＋＝1与x轴正方向交于点A，如果在这个椭圆上总存在点P使OP⊥OA，O为原点，求椭圆离心率e的范围
解：设P（acosθ,bsinθ） (θ)
∵OP⊥OA, ∴ 化简得
∴
点评：本题关键在于建立和三角函数的关系式，再利用三角函数的取值范围求出的范围，是一种常见的求的方法。
三、借助已知不等式求解
例3、双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围. （2004年全国卷Ⅱ高考理科数学第21）
解：直线的方程为，即
由点到直线的距离公式，且，
得到点（1，0）到直线的距离
，
同理得到点（－1，0）到直线的距离
由 即
于是得
解不等式，得 由于所以的取值范围是
点评：借助已知不等式求解，此种题型比较简单，也比较常见，学生容易入手。
四、借助一个参数的范围求解
例4、设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值. （2004年全国卷Ⅰ高考理科数学第21）
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0.
双曲线的离心率
（II）略
点评：本题的关键在于借助a的范围求出的范围，也可以叫判别式法或者转化为求函数值域的方法。此种题型也是学生比较容易接受并掌握的。
