数学中的一种重要的思想方法和解题策略

何处分类讨论？
宁波华茂外国语学校  熊青厚 315192
 分类讨论思想是数学中的一种重要的思想方法和解题策略，它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用，讨论时要注意“起点”的寻找和“层次”的划分，做到“起点”合理、自然，“层次”明确、清晰.分类的原则是“既不重复，也不遗漏.” 分类讨论在历年高考中，特别是在综合性的题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一.这种数学思想方法几乎涉及中学数学内容的各个部分，点多面广、综合性强，不少学生在高考复习时，忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误的现象屡见不鲜.关于分类讨论的动因和方法，汪江松先生在其著作《高中数学解题方法与技巧》中已有精辟地阐述，本文就高中数学可能涉及分类讨论的主要知识点加以小结，期望对同学们的高考复习有所帮助.
1   集合与简易逻辑
1.1   集合中的元素应满足互异性
 例1  ,若,求实数a的值.
 解析:  需分或或三种情况讨论，且须检验所求a值是否能保证集合中的元素满足互异性.答案a=0.
   求集合或元素的个数
 例2  已知非空集合，且若则,那么集合M的个数为_____.
 解析:  M可能含个元素，讨论后得不同的M为共7个.
   因的特殊性而引起的讨论
 例3  若,求实数m的取值范围.
 解析：需分讨论.当时，,即当时，即综上知，m的范围是.
2   函数
2.1   含参数方程
 例4   设使方程有唯一实数解,则A用列举法可表示为______.
 解析： 此题应分和两种情况讨论.答案.
2.2    二次函数的对称轴与自变量区间相对位置的不确定性引起讨论
 例5  设的最小值为,求的表达式.
 解析:  的对称轴为直线x=1.分三种情况讨论：
即时，
当t>1时，在上单调递增，
当t+1<1即t<0时，在上单调递减，
综上所述，.
   对于求含参函数的定义域，或已知其定义域，求参数的取值范围，必须对字母的取值情况进行分类讨论
 例6  已知函数的定义域为R，求a的范围.
 解析:  ①对恒成立.
当时，应有或.
当时，若,则①为非绝对不等式;若，则不等式①为是绝对不等式，所以a的范围是
   涉及指数、对数函数，常对底数进行讨论
 例7  求函数的单调区间，并指出其增减性.
 解析:  令则的递减区间是,递增区间是.又当a>1时，在R上是增函数;当0<a<1时，在R上是减函数，所以，当a>1时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是;当0<a<1时, 函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
2.5    涉及分段函数，求时常需对进行讨论
 例8   已知,则不等式的解集为_________.
 解析: 时，不等式变为x+x,即不等式解集x<0时，不等式变为即不等式解集
2.6   求单调函数中参数的取值范围
 已知函数是在区间上的减函数，则a的取值范围是___________.
 解析： 当时，要使函数在区间上单调递减，则必有即当a=0时，函数显然符合题意.故a的范围是
3    数列
3.1   已知求,需分和讨论
 例10  为数列的前n项和，且求数列的通公式.
 解析:  n=1时，当时，则时，又n=1时也成立，故
  等比数列求和时，常分q=1和讨论
 例11  求和
 解析:   x=1时，;时，①，②,①-②得=(x=0时仍成立).
4   三角函数
4.1   三角函数中，涉及到形如的角，常分n 为奇数或偶数讨论
化简：
解析：当k为偶数时，值为-1;当k为奇数时，值也为-1.
4.2   已知三角函数值求角，常需对角的位置讨论
 例13  已知求.
 解析:  在第二或第四象限.讨论后得=或
5   平面向量
5.1   考虑的特殊性
 例14  若是否一定有
 解析: 当时，不一定有;否则一定有.
  已知两边和其中一边对角解三角形时，常需讨论解的个数
 例15  中，解三角形.
 解析:  ,三角形有两解.由正弦定理得,或.当时，当时，.
  使用定比分点公式时，常需分内、外分点两种情况讨论
 例16  设,点P在直线上，且,求P分所成的比.
 解析:  当P是内分点时，P分所成的比为;当P是外分点时，P分所成的比为
6   不等式
6.1   使用均值不等式时，常因因子符号的不确定性而讨论
 例17  求函数的值域.
 解析:  x>3时，（x=4时取“=”）; x<3时，（x=2时取“=”）.综上函数值域为.
  解含参数的不等式常需讨论
 例18  解关于x的不等式
 解析:  原不等式等价于或
当时，解集为当时，解集为当时，解集为.
7   直线与圆的方程
7.1   求直线的斜率和倾斜角
 例19  已知两点A(m,2)、B(3,1),求直线AB的斜率、倾斜角.
 解析:  设直线的斜率为k,倾斜角为.当m=3时，k不存在，当时，.
  求直线方程时，常需考虑截距是否为零，斜率是否存在
 例20  求经过点A（-5，2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程.
 解析:  当截距为零时，直线方程为当截距不为零时，直线方程为
  判断两条直线位置关系时，常需考虑斜率是否存在
 两条直线当m为何值时，与(1)相交;（2）平行;(3)重合.
解析:  (1) (2)m=-1或m=0; (3)m=3.（过程略）.
8   圆锥曲线方程
8.1   含参数的二元二次方程所表示曲线类型的讨论
 例22  讨论方程所表示的曲线类型.
 解析:   (1)当时，即时，方程所表示的曲线是圆;
 (2)当,即时，方程所表示的曲线是椭圆;
(3)当时，方程所表示的曲线是双曲线.
  求圆锥曲线方程时，常因焦点位置不确定而引起讨论
 例23  已知双曲线C的两个焦点是、实半轴与虚半轴长的积为直线过且与线段夹角为,且与线段垂直平分线交点为P,线段与双曲线的交点为Q,且,求双曲线方程.
 解析:  当焦点在x轴上时，曲线方程为当焦点在y轴上时，曲线方程为（过程略）.
  在研究直线与圆锥曲线交点个数问题时，不仅要由来判断，同时还要注意二次项系数对交点个数的影响
 例24  已知双曲线,直线讨论直线与双曲线公共点个数.
 解析:  联立方程组消去y得  
当即时，方程化为2x=5,方程组有一解，故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行.
当即时，由得时，方程有两解，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.
当，由得时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.
当，由得方程组无解，故直线与双曲线无交点.
综上所述，当或时，直线与双曲线有一个公共点;当且时，直线与双曲线有两个公共点;当直线与双曲线没有公共点.
9   直线、平面、简单几何体
9.1   由点与线、点与面、线与面、面与面的位置关系的不确定性而引起的讨论
 例25  已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面.
 解析：  证明时需分有三线共点和无任何三线共点两种情形.
  不共线的三点A、B、C到平面的距离相等，则平面与平面ABC的位置关系是______________.
 解析:  需分A、B、C三点在的同侧和异侧两种情形，答案：平行或相交.
  关于棱柱、棱锥与球的切接问题，常因圆心与所接切体的位置关系不确定而引起讨论                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               例27  在半径为15的球内有一个底面边长为的内接正三棱锥，求此正三棱锥的体积.
 解析:  正三棱锥的底面半径为12，当球心在三棱锥内时，高h=24，当球心在三棱锥外部时，
10   极限
10.1   求时常引起讨论
例28  已知常数均大于1，且都不等于2，求
解析：  当p>q时， 所以当p<q时，所以当p=q时，
参考文献
汪江松.高中数学解题方法与技巧.武汉：湖北教育出版社，1995
罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范大学出版社，2001