浅谈协同思维在训练学生多向思维中的应用
新《初中数学课程标准》指出：“义务教育段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。……使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。为了培养学生的思维能力，在解答数学问题时，既要通过逻辑思维去推想问题解答途径，更重要的是要通过对图形、模型的观察、操作，从不同的方向获取直觉发散，对图表和图式作分类组合，对图形的意义作多种解释等，充分利用形象思维去培养求异思维。当逻辑思维和形象思维的结合点统一起来的时候，解题的创造性就会展现在你的面前。
脑科学的研究表明，人的大脑左、右两半球具有不同的职能。大脑的左半球主管人体右半部，偏重于思维中语言的、概念的、分析的、连续的和计算的能力，还具有比右半球强得多的控制能力；而右半球则与知觉和空间有关，偏重于音乐的、绘画的、空间的形象感受识别能力。大脑两半球各司其职又互相协作。这种生理结构正是逻辑思维与形象思维协同作用的根据。
《协同思维解题法》就是帮助初中学生利用人脑的各种生理机制，通过巧妙的视角去观察数学题、发现数学题的最佳解题途径。能使学生掌握在解题思维过程中如何化难为易，化繁为简，变未知为已知，变抽象为具体的本领。它将使你的解题思维得到升华，解题能力得到提高。
如例一：已知：如图1，点为线段上一点，⊿、⊿是等边三角形。求证：。
分析：这是初中几何中一道普通的习题，但它的内涵与外延十分丰富。怎样指导学生进行解答呢？
首先，应该从逻辑上考虑：如何证明两条线段相等？
我们知道，证明两条线段有下面一些思路和方法：
1、能够重合的两条线段是相等的线段。
2、长度相等的两条线段是相等的线段。
3、全等三角形的对应边相等。
4、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
5、等角对等边（在同一个三角形中）
6、线段垂直平分线上的点到此线段两端点的距离相等。
7、平行四边形的对边相等，对角线互相平分。
8、夹在两条平行线间的平行线段相等。
9、矩形、正方形、等腰梯形的两条对角线相等。
10、菱形、正方形的四条边都相等。
11、如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
12、垂直于弦的直径平分这条弦。
13、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。等弧对等弦。
14、从圆外一点引圆的两条切线，该点到切点的两条切线长度相等。
15、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
16、两圆的两条外公切线（或内公切线）的长相等。
一般的初中生证明两线段相等都喜欢通过“全等三角形的对应边相等”进行论证，对于这道题来说是可行的。
逻辑上的考虑使解题明确了方向，紧接着应该从形象上进行观察：
从图象上我们发现，和分别在⊿和⊿中，我们把它从原图中引出来，如图1：
在⊿和⊿中，
∴⊿≌⊿（）
∴
题目到此证完了，然而在此时，我们可以从图形的变化中引导学生进一步拓展思想。教师可提出如下问题：①这种证法是最好的吗？②你能想出别的证法吗？实际上在教师的启发下，同学们会很快找出解题的途径。
前面的归纳告诉我们：“长度相等的两条线段是相等的线段”，我们可以通过计算使问题获得解决。
如图3所示：设⊿和⊿的边长分别为和。过作，垂足为；过作，垂足为；则，，由勾股定理可以得到：
∴
则
这时用的是通过代数的角度去证明几何题的方法，有时用起来能收到独特的效果。
我们还知道，“能够重合的两条线段是相等的线段”，此图象上我们发现：⊿和⊿有共同的顶点，且，，。因此我们可以采用新的思路获得一种创造性的证明方法：
以为旋转中心，将⊿绕点顺时针旋转，因为，，，所以这时点与点重合，点与点重合，根据“能够重合的两条线段是相等的线段”，因为与的两个端点分别重合，所以与重合，因此。
很显然，通过上述三种证法，通过形象思维和逻辑思维的多次互补活动，学生数学思维将得到提高。这时，教师还可以进一步激发学生的思维活动，给自己提出新的问题：“图中还有别的全等三角形吗？”
这样一来，又把原题转化为了一个开放性的探索题。这类题条件是已知的，结论是需要自己去发现的，有的还不是唯一的。这类题富于创造性，有助于调动你的学习积极性，激发学生的求知欲和进取精神，培养学生对问题的探索能力和解决问题的能力。由此可以证明，图4中还有2对全等三角形：⊿≌⊿，⊿≌⊿。
从图象的观察中，教师还可启发学生作一个猜想：∥。
个猜想是否正确？就必须通过论证去判断它。
静止是相对的，运动是绝对的。让我们通过运动的观点深入一步去探索新的问题。
将⊿绕点顺时针旋转，，，任意一个角度时，和相
等吗？为什么？（见图5）
2、如果将⊿绕轴翻折，以、为邻边作平行四边形，求证：，，并证明⊿是等边三角形（见图6）。
从形象上观察，可以通过⊿≌⊿（）去证明；又可以通过⊿≌⊿（）去证明；要证⊿是等边三角形可以先证四边形是等腰梯形，从而得出，但，因此，故⊿是等边三角形。
3、如图7，如果为线段外一点，⊿、⊿是等边三角形，求证：① ；② 若、相交于，求；③ 连结，求证：平分。
分析：通过“构形”使我们的思维得到升华，难度也相应加大了。世上无难事，只要肯攀登。我们应该迎难而进，夺取新的胜利。
通过对图7的观察，我们发现：⊿≌⊿（），因此。
要求的大小，从图7看，这是否正确呢？
由⊿≌⊿可知，所以、、、四点共圆，故，同理可知，，故平分。
当我们认真回顾例题的整个解题中的层层变化，不难获得“协同思维解题法”的精华：即“析形引思、变形扩思、构形创思”，而这一切正是每位数学教师必须要遵循的教学原则。
