打造开启“解析几何”大门的金钥匙——“直线的方程”教学之我见

打造开启“解析几何”大门的金钥匙——“直线的方程”教学之我见
广州市花都区教育局教研室  高宏伟
【内容提要】从解析几何的工具性入手，强调在教学过程中对数学基本思想方法的灌输，在学生学习
解析几何伊始阶段——直线的方程时就帮助学生形成对用代数方法研究几何问题的基本认识和方法，希望
能够以此提高学生的学习兴趣与学习能力，从而提高教学效率。
【关键词】  工具 基本思想方法 数形结合 几何意义 代数表达 形成方法
解析几何既是高中数学学习的重要内容，也是联系代数与几何的纽带，是进行数学学习的有力工具。
如何才能降低学生学习解析几何的困难呢？笔者认为抓住数学基本思想方法进行教学是关键。高中数
学新课程标准对解析几何的教学要求告诉我们，在解析几何的教学中，不能一如既往的只看重“结果”，更
要强调其“过程”，即在教学过程中要突出解析几何的工具性和相关的数学基本思想方法。
“直线的方程”是学生接触解析几何的第一课，是学生明确认识、形成方法的最好时机。我们应把握
好这一时机，引导学生打造好“数学基本思想方法”这一开启解析几何大门的金钥匙，使学生们能够轻松
地打开大门，自如游历于解析几何殿堂。
如果我们抓住数形结合这一数学基本思想方法，从直线的几何要素出发，结合直线的倾斜角和斜率进
行整体的研究，则即抓住了问题的本质，又调动了学生的求知欲和学习兴趣，使学生能够“温故而知新”，
达到良好的教学效果。具体的处理方法如下。
一、提出问题：
1、想想看我们平时是怎样画直线的？也就是说怎样可以确定一条直线呢？
2、在平面直角坐标系中上述的条件怎样表示？
3、直线上的点具备怎样的几何意义呢？也就是说怎样判断一个点是否在直线上？（难点，教师可引
导学生观察图像进行思考）
4、你所找到的直线的几何意义可以怎样表达？
二、分析问题：
1、对于问题 1 就是让学生从几何性质的角度去思考问题。
引导学生得到确定直线的两个方法：
①两点确定一条直线；②一个点和一个方向确定一条直线。
2、对于问题 2 就是使学生经历将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素。（浅层次的，几乎不
需要转换）
引导学生建立“方向”与“斜率”之间的关系。
3、对于问题 3、4 就是让学生更深入的寻找问题中隐藏的几何意义与几何性质，并将他们代数化。（深
层次的，需要转换）
引导学生找到：直线上任意两点的斜率均为定值，这一直线几何意义的代数表达。
三、解决问题：
在此介绍解析几何中求轨迹的基本思想方法，并由两点式自然地过度到点斜式（过程略）。
四、拓展问题：
对于上面的两种情况，通过教师简单的提问，可以进一步拓展出直线方程的“截距式”和“斜截式”。
引导学生寻找一般与特殊的关系，观察特征进行化简，体会数学中的美。然后给出“截距式”与“斜
截式”的概念。
至于直线的一般方程，我们可以根据一般的代数方程的习惯（将方程的右边化成 0）让学生自己解决
即可。
五、归纳总结：
引导学生利用化归的思想总结出解析几何思想解决问题的基本思路：
1、 寻找几何性质；
2、 利用某些基本关系，找到几何性质与代数式子之间的联系，用代数式子表示出几何性质；
3、 简化整理代数式，通过解决代数式来反映出相应的几何结果。
在后面进行“圆的方程”、“直线与圆的位置关系”、“圆锥曲线”等内容的教学时同样使用对这一思想
方法进行教学。圆上的点有什么几何性质？这一几何意义有怎样代数式子表示出来？可不可以化简成更“好
看”的形式？……这样，高中解析几何中的重点内容学生基本上都可以通过自主思考来解决，教师只需从
旁点拨即可。
长此以往，学生必然能够养成良好的数学思维习惯，轻松自如、事半功倍地进行数学的学习。