三道压轴题 一个共同点
三道压轴题 一个共同点
近些年来，测试学生应用数学知识解答物理问题的试题不少，其中1994、1996、1999年三年全国高考题的压轴题独具特色，但却具有一个共同点，即专门测试学生应用几何角度知识处理物理问题的能力，下面对三道题作一简要分析。1.1994年全国高考压轴题题目：一带电质点质量为m电量为q，以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入图1中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径，重力忽略不计。
图 1 图 2
解析：由题意可知，质量在xy平面的第一象限的磁场中做匀速圆周运动，在磁场外做匀速直线运动。由于质点进入磁场的速度方向与飞出磁场的速度方向相垂直成90°，由此可知质点在磁场中的轨迹 是半径为R的圆O（虚线）的圆周的1/4，如图2.由题意，恰包含弦 的磁场圆有无数个，且 对庆的圆心角越小，圆半径越大，反之则越小，当圆心角为180°时，即 为直径时磁场圆O'（实线）的半径最小，设其半径为r，易得r＝ ＝ · 显见，以上对角度的分析是解题的关键。 2.1996年全国高考压轴题题目：设在地面上方的真空室内存在着匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感强度方向是相同的，电场强度的大小E＝4.0V/m，磁感强度的大小B＝0.15T ,今有一带负电的质点以v＝20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电粒子的电量与质量之比q/m ，以及磁场的所有可能方向。（角度可用反三角函数表示）解析：本题涉及到的矢量共有6个，除了重力mg的方向确定向下外，其余5个矢量在空间交错如谜一般，而解开这个谜全系一个角度。
<TR 图 3
图 4
设磁场和电场的方向与重力方向夹角为θ，据平衡原理和左手原则，可推出各个矢量的方向。粒子所受电场力qE、磁场力Bqv、重力mg及电场、磁场方向如图3所示，三力供点共面平衡。据图另得θ＝arctg0.75，这是θ的一个解。若以mg为轴将图3旋转一周得一圆锥，如图4，可以发现，三力仍处处平衡，而沿圆锥母线斜往下是磁场的一切可能方向。在图3中，速度方向垂直纸面向外，求得： ＝ 显见用角度描述磁场方向在这一题中起了决定性作用，并且从平面扫向空间，答案无一遗漏。 3.1999年全国高考压轴题题目：图5中虚线MN是一垂直面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在着一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为＋q、质量为m速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中的P点相遇，P到O的距离为L。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径。(2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。
解析：这一题的实质是物理外壳，几何内涵，前后两个粒子做完全相同的匀速圆周运动，两个圆相交于O、P两点，设弦OP对应劣弧 和优弧 分别为1、2两上粒子的实际轨迹，由于对称性， 与 等长，如图6.两个粒子从O点出发到达P点的路程表△s及时间差△t满足以下方程：△s＝2 ①△t＝2 ②巧设角度可迅速消去 。 图 6
设∠PO2P'＝θ，则有∠O１OO2＝θ，由几何关系可知＝Rθ ③ Rcos ＝ ④由②、③、④R＝ (第一问答案)可得：△t＝ arccos 困难处巧设角度，困难迎刃而解，答案立现。从以上三题的分析可以得出应用几何角度处理物理问题的几点有益启示：1.善于发现，善于突破。1994、1996、1999年三年高考的压轴题涉及到的几何图形主要是圆和三角形，涉及到的几何量主要是角度、弧、弦，而涉及的物理知识范围广泛。学生应该发现，在众多的数学量和物理量中，角度是最关键的量，它既是建立几何量与物理量之间关系式的一个纽带，又是沟通几何图形与物理模型的桥梁。若选择角度进行难关突破，能迅速使数学溶化在物理中，解题快捷、准确。2.数学知识应熟记于心中。这三题要求学生对角度与弧长之间，角度与弦长之间，圆心角、圆周角、弦切角之间，角度与方位之间等各种关系都要十分熟悉，只有熟悉了的规律才能随心所欲地支配它们，应用它们，才能选准最佳突破方向，抢先一步到达胜利的彼岸。
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