(3.25)
用传递函数分析闭环零极点很困难。采用下面的函数(亦称分子重构谱)来估计滞后系统的零点。
(3.26)
因系统极点和函数的极点在复平面上极为相近，所以用该函数估计极点。
假设一个重复控制系统为:
， ， ，
如果式中，变化见表3.4，表中还给出式(3.22)的计算值。系统阶跃响应见图3.5。从图中可以看出，第二个周期的峰值最大，以后逐步衰减。对于大的的，重构谱的峰值也越大，过渡时间也就越长。在＝0.1时，，。因此，本例中，第一到第二周期，有近33％的衰减，第二到第三周期有近80％的衰减。
表3.4 实例计算值
0.1 10.0176 0.76 5.373 10.56 0.6665
0.5 2.0039 0.4986 2.402 2.914 0.91
0.75 1.33 0.4211 1.844 2.02 0.9375
1 1 0.3674 1.506 1.58 0.953
2 1 0.2498 0.88 1.58 0.9755
3 1 0.1923 0.625 1.58 0.9845
重复控制环节的设计
重复控制环节的和按照前面讨论的原则进行选择。
(3.27)
应取较小的值，以保证滤波器q有较宽的频带，这样对扰动的高次谐波有较好的抑制。因为没有重复控制环节时闭环传递函数的倒数，即
而
。
为了易于实现，b取为：
(3.28)
越小，和就越接近。在系统仿真中取值0.1。选择和使重构谱的幅值在单位1以下，以保证纯滞后系统对任何速度下的偏心扰动都渐进稳定。考虑到系统模型的误差，应使重构谱幅值低于单位1一定裕量。如果重复控制器延迟时间()大于没有重复控制器时的时间常数，则重构谱所确定系统闭环极点的轨迹较好。一般满足下列不等式：
(3.29)
图 3.2 重复控制补偿偏心扰动时的出口厚度波形
图 3.3无重复控制补偿偏心扰动时的出口厚度波形
假设轧机的偏心扰动是因支承辊引起，令，如果＝0.86，取值小于0.36就可以满足上式，取为0.2。此时系统主导闭环极点和函数极为接近。值越低，对系统闭环响应的阻尼作用越大。加一幅值为0.1的偏心扰动，按照前述的可逆轧机的轧制规程，分别得到图3.2和图 3.3 的系统仿真结果。由图中可以看出，重复控制器对支承辊的偏心造成的厚度偏差有明显的抑制，说明重复控制器抗轧辊偏心周期干扰的有效性。为了防止重复控制器受Smith滞后补偿产生的干扰影响，重复控制器应在 ：
(3.30)
后投入。图3.4为延迟一定时间同时加一幅值为0.1的偏心扰动和一0.1阶跃扰动时的出口厚度波形。由图中可以看出，图3.1所示的控制系统对偏心扰动的阶跃扰动具有抑制能力。
图 3.4偏心扰动及阶跃扰动时的出口厚度波形
当轧制速度为10m/s，出口厚度加一0.1mm的阶跃干扰时对系统过渡过程的影响见表3.5。可以看出，随着的减小，增大，第二个周期的峰值越大；同时随的减小，也减小，过渡衰减将加快。同时变化时，过渡过程峰值变化很小。
的2范数是这样计算的，假如厚度扰动幅值为0.1，扰动时间为0.196，则＝＝0.044。
表3.5 变化时峰值计算
0.05 20 0.098 0.2132 0.376 0.2000
0.1 10 0.098 0.196 0.316 0.3330
0.25 4 0.092 0.156 0.214 0.5560
0.5 2 0.08 0.12 0.14 0.7143
表征重复控制系统的扰动的灵敏度函数为：
(3.31)
由式(3.31)可以看出，当重复控制环节存在时，在接近干扰频率时灵敏度函数衰减要比没有重复控制环节时要低，这表明了重复控制补偿时系统对周期性扰动的抑制能力。
当被控对象和偏心扰动满足下式条件时，
也可以采用图3.5的重复控制结构形式。
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图 3.5单轧辊偏心扰动重复控制补偿厚度控制系统结构
在不考虑前滑时，轧机参数、轧机速度和重复控制环节参数有如下关系：
(3.32)
式中：为轧机速度，为产生偏心的轧辊半径，分为正常情况下的出口厚度和有偏心干扰时的出口厚度，l为厚度传感器距辊缝的距离。该公式为设计重复控制环节的参数提供了大致范围。但对速度很高的小轧辊轧机并且轧机厚度传感器距离较远时上式不准确。
重复控制和鲁棒PID控制混合设计
如前所述，厚度被控对象由伺服阀、液压缸及轧机系统传递函数在轧制时的形式为：
(3.33)
式中：分为对象比例、惯性和延迟时间常数。
图3.1中，令
(3.34)
系统采用Smith预估补偿，补偿控制器离散化后的输出为： (3.35)
式中 ：
， (3.36)
被控对象的微分方程为：
(3.37)
对上式求导将其两边取增量离散化，并根据，其中为没有扰动时的对象输出，得：
(3.38)
重复控制部分离散化结果为
(3.39)
整理得：
(3.40)
(3.41)
式中：是重复控制环节的输出。
，
，
，
又
， (3.42)
PID离散化增量模型为：
(3.43)
由式(3.35)、式(3.42)、式(3.43)联立可以得出系统闭环输出 。
鲁棒PID控制器的参数整定方法是为了解决过程模型在一定范围内变动的实际问题而设计的。该方法基于最小最大原理，寻找一组合理的PID参数，使控制器的性能对于模型的不确定不敏感，并且在模型的一定变化范围内保证控制器有良好的控制性能。或者说鲁棒PID控制器试图在最坏的工艺情况下寻找最佳的控制性能。鲁棒控制器设计就是将最坏情况的损失最小化。用数学公式表达就是一个最小最大两层规划命题min~max。鲁棒PID的设计步骤是：
首先选定PID控制器具有如下形式：
式中： 为比例增益， 为积分时间常数， 为微分时间常数
其次按照轧制规程情况，选择满足式4条件的和参数。确定、，并初步确定。
再其次选择一个合适的控制性能指标。这里选择ISE判据。系统模型离散化后的ISE判据为：
(3.44)
式中：为离散化后系统的输入、输出，为系统采样周期。
最后求解ISE命题，可以按下述步骤进行，第1步固定一组PID参数，寻找对象参数波动最不利情况，第2步在最坏情况下搜寻最佳的PID参数，接着返回第一步计算，不断循环迭代直到收敛。第1步优化命题为：
式中：分别是由轧制规程和液压压下设备参数确定的理想。，迭代初值原则上在满足式4约束条件下可以任意选取，而一般可选取对象特性的标准值时所确定的控制器最佳整定值。
第2步优化命题为
的值满足式4的约束条件。返回第一步，不断循环迭代直至收敛，确定出鲁棒PID参数和。收敛的准则可以取，其中 为给定的出口厚度的最小方差。
因为为自变量 的非线性函数，所以寻优方法可以用非线性规划中的逐次二次规划SQP(Successive Quadratic Programming)或者用搜索法如遗传算法等。
鲁棒控制器设计基于一个很直白的认识，将最坏情况的损失最小化，这种设计就是鲁棒的。用数学公式表达就是一个最小最大两层规划命题min~max，用传统的数学规划方法求解存在困难，故我们转而求助于遗传算法进行优化求解。遗传算法是智能进化计算的一种，近几年来在工程设计上的应用增多，显示出良好的性能和生命力。
双轧辊偏心重复控制系统
双轧辊偏心重复控制系统的结构及仿真
假设上下支撑辊辊的尺寸不一致，此时偏心干扰可以看作两种期干扰。图3.6为
图3.6 两种周期扰动的轧辊偏心重复控制补偿厚度控制系统结构
具有两种偏心周期干扰的重复控制结构图，采用重复控制器的并联形式。如果没有把两个内模控制器连接(如图较粗的线)起来，两个控制器相互干扰，系统很难渐进稳定。当取，取时，如偏心时，且PID控制器的参数为时，针对前述的可逆轧机，图3.7、图3.8给出了两个控制器有无连接时的厚度控制仿真结果。一般来说，当两个控制器独立控制时，在一些工作频率上厚度控制系统很难渐进稳定；而把两个控制器连接起来时，则得到较好的控制效果。
图3.7 两个重复控制补偿器相连接时出口厚度波形
图3.8 两个重复控制补偿器不连接时出口厚度波形
系统稳定性分析
系统的稳定性可以用系统闭环特征方程加以研究，特征方程为：
(3.45)
上式可以简化为：
(3.46)
为讨论其稳定性，引入下面的一个定理。
定理3.1 假设一个线性实不变并具有m个延迟时间的系统特征方程为：
(3.47)
式中：
， (3.48)
且
(3.49)
则系统对于任何延迟当且仅当满足下列条件时渐进稳定：
⑴ 零点的实部为负值；
⑵ 对于任何，有 (3.50)
实际上，上面的方程是Nyquist判据在多时间延迟系统的一个应用。对于图3.7，如果选择使为正则传函(即可实现的)，是严格正则的，则因滞后系统具有迟滞性，式(3.49)自动满足不等关系。当且仅当没有重复控制环节的闭环系统是渐进稳定的，并对于所有满足下列不等式时其余条件才能满足：
(3.51)
由上式可以看出，为了系统稳定，应象单周期重复控制器一样仔细选择，使它在低频时尽可能等于
选择为低通滤波器。应用式(3.52)可以解释重复控制器没有连接起来时系统不易渐进稳定的原因。未连接时的系统特征方程为：
(3.52)
系统对于所有的 ，在时，当且仅当下式条件满足时才能渐进稳定：
(3.53)
如果选择使它在低频时尽可能等于，而在低频时为有效抑制扰动接近单位1，则可以看出，上面不等式在时不成立，因为上式左部接近于1。可以推得，表征系统扰动抑制的灵敏度函数为：
(3.54)
因在低频时近似等于，上式可以简化为：
(3.55)
很明显，应选择较宽的频带以使灵敏度函数降低到很低的值，但这可能使中频性能衰变。上式有两个单重复控制器项的乘积，如果第二项在某一频率较大，则第一项在该频率尽管不大乘积也会升高。这就是多重复控制器带来的结果。
下面讨论系统零极点情况。式(3.51)可以写成如下形式：
(3.56)
式中：
假设系统闭环极点为，如果
⑴ 较大，相对于所有靠近虚轴的极点；
⑵ 对于任何时间延迟，系统渐近稳定。
把系统的闭环方程(3.52)写成如下形式：
(3.57)
式中：分是和、相位滞后角。对上式应用三角不等式可得：
(3.58)
为不失一般性，假设，因，则上式有：
