有限总体方差的模型无偏估计
摘要：本文借助于超总体模型，通过对有限总体方差的一个比率型估计量进行修正而获得了一个总体方差的模型无偏估计。我们也讨论了通常的比率型估计量的线性函数之模型无偏性。
关键词：方差估计，辅助信息，比率型估计，模型无偏估计
引言
在抽样理论中，总体方差的估计是一个重要问题。一般地，在简单随机抽样下，我们常常用样本方差来估计总体方差。然而，这没有利用辅助信息。注意到在实际的抽样调查中，我们通常会有辅助信息可以加以利用。因此如何利用辅助信息以提高总体方差的估计效率是值得研究的。众所周知，对于总体均值的估计问题，通过构造比率型估计量可大大提高估计的精度（参见Cochran (1977), 冯士雍、施锡铨(1996), 孙山泽 (2004)）。基于同样的思想，Isaki (1983) 也对总体方差的估计问题提出了如下的比率型估计：
，
其中 和 表示样本方差， 表示总体方差（显然，上式隐含了。这对实际中几乎所有的总体都是满足的）。后来，Prasad 和 Singh (1990) 考虑了形如 的改进估计（这里 是一个常数）。然而，不象总体均值的比率型估计量，这些估计量通常都不是模型无偏的（关于模型无偏的定义可参见Cochran 1977）。本文的主要目的就是对Isaki (1983) 的比率型方差估计 进行修正，使之成为关于模型的无偏估计。另一方面，我们也将研究形如 （此处 和 均为常数。这显然包含了Prasad 和 Singh (1990) 的估计量）的估计量的模型无偏性。
2．主要结果
以下我们假定大小为 的有限总体 是来自下面的超总体模型的一个随机样本：
（1）
其中 ， 和 是未知的参数， 是一个已知的常数，一般取值在0与2之间（参见Cochran 1977）， 是相互独立的随机误差，而 表示关于超总体模型取数学期望。这个模型在抽样理论中是最基本的模型，在文献中已被广泛采用， 如见Cassel 等 (1977), Cochran (1977)，Rao (2003) 等。进一步，我们假定 是用任意的抽样方案抽取的一个大小为 的样本。
为了估计总体方差 ，我们修正Isaki (1983) 的比率型方差估计量 而提出如下的方差估计量：
（2）
可以证明
定理1 在超总体模型（1）下，估计量 是总体方差 的模型无偏估计。
证明：见附录。
由模型无偏的方差估计 的表达式（2）可得如下的有趣性质：记
，.
则当抽取的辅助变量 满足 时，Isaki (1983) 的比率型方差估计量 与我们的修正估计量 一致，从而是模型无偏的。
下面我们考虑形如 （此处 和 均为常数）的估计量的模型无偏性。我们有下述结论：
定理2 估计量 是总体方差 的模型无偏估计的充要条件是 ，，以及 .
证明： 由附录的（A.1）式和（A.2）式可知， 的充要条件是下式对任何 和 都成立：
（3）
显然，当 ，，以及 时，（3）式成立，故充分性成立。 现证必要性。在（3）式中令 以及 可知 。将此代入（3）式然后令可得 。最后将 ， 代入（3）式即得
. 定理证毕。
由定理2可以看出，当 时， 是估计类
和 是常数
中唯一的模型无偏估计。因此如果我们采用目的抽样使得 ，则 将是一个好的估计量。
3．模拟计算
上节我们构造了总体方差 的模型无偏估计。一个需要考虑的问题是纠偏后的估计其方差是否会增加？也就是说，得与失的综合效果会怎样？在本节中我们通过模拟计算来比较比率型方差估计量 和我们所提出的模型无偏的方差估计量 的均方误差（MSE）。
我们假定误差 服从正态分布，并取 . 我们使用 分布来产生辅助变量 的值（这种方法在文献中经常被使用， 如见Durbin (1959) 和Wu (1982)），然后在给定的 和 值下由模型（1）产生 . 由此即得总体的值。从中随机抽取 个。这样，利用&n
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