发表：一类基于分级聚类的可解释性模糊建模方法的研究(二)
指标定义为:
(6)
如果一个数据点有多个邻近的数据点,则该数据点具有高密度值,半径定义了该点的一个邻域,半径以外的数据点对该点的密度指标贡献甚微。在计算每个数据点指标后,选择具有最高密度指标的数据点为第一个聚类中心,令为选中的点,为其密度指标。的密度指标可用下式修正:
(7)
显然,靠近第一个聚类中心的数据点的密度指标将明显减少，从而使这些点不太可能选为下一个聚类中心。修正了每个数据点的密度指标后，选定下一个聚类中心，再次修正数据点的所有密度指标。当新聚类中心对应的密度指标与相比小于某个给定值时
(8)
则聚类过程结束，提取聚类中心聚相应的密度指标。
二次聚类
使用模糊C均值聚类算法进一步处理由一次聚类产生的聚类中心，因为这些聚类中心是由相应的密度指标所决定，所以在最后的模糊分区划分时应考虑到相应样本的密度指标的不同，为解决这个问题，使用加权模糊C均值聚类算法处理由一次聚类产生的聚类中心，相应的加权模糊C均值的目标函数为：
(9)
其中为最终的聚类数，为分区矩阵，是最后的聚类中心矢量，为模糊加权指数，是与初始聚类中心相关的加权量，由下式表示：
(10)
聚类的准则为取的极小值且约束条件为，最后所求的聚类中心和相应的隶属度函数可用下式表示：
(11)
(12)
高斯型隶属函数的方差可以通过计算模糊协方差矩阵来获得：
(13)
(14)
一旦确定了模糊模型前件的参数，即可利用最小二乘法估计模糊模型的后件参数。
加权FCM算法：
Step1：选择聚类数，加权指数，和聚类中心的初始值。
Step2：使用公式(12)计算隶属度函数值。
Step3：利用公式(11)计算更新聚类中心的值。
Step4：如果，则停止，否则转到Step2。
模糊规则数目的确定，即在模糊聚类中确定聚类的数目，是模糊建模的一个首要问题。聚类有效性分析就是寻找最优的聚类数目，文献[30]提出的紧密/分离性函数（XB：Xie-Beni index）利用了隶属函数信息和数据本身的信息，本文使用加权紧密/分离性函数，其最小值对应最优的聚类数目，对模糊指数m的鲁棒性强，融合了数据的几何结构信息：
(15)
模糊集合的相似性融合
经过两级聚类算法和最小二乘估计得到的初始模糊模型，其隶属函数（模糊集合）可能存在冗余，表现为模糊集合间存在过度的交叉或重叠，从而难以赋予相应的语义值，降低了模型的可解释性，因此需要对每个变量的隶属函数进行相似性分析和融合．
模糊模型的隶属函数存在三种类型的冗余：第一种是两个隶属函数相似，这是最常见的模糊集合冗余形式；第二种是隶属函数以较大值覆盖整个论域；第三种是隶属函数接近于单点集合。
第三种的隶属函数冗余，由于其不存在可解释的实际意义，一般在对应的规则前件中直接去除即可。对于第二种的隶属函数冗余，在去除该规则后，建模误差在允许范围内，则为了提高可解释性，可将该规则删除，实现规则约简，否则保留该规则。
第一种冗余，本文采用相似性测度来评判两个隶属函数的相似性。对模糊集合A和B，其相似性测度定义如下[34]：
(8)
其中表示集合的基数，和算子分别表示集合的交和并。
对于离散论域X={xk | k=1, …, N}，式（22）表述如下：
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