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广义正定矩阵的性质
摘要
正定矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位，它在几何学，物理学，概率论以及最优化理论等诸多学科中都得到了重要的应用，但是随着数学本身的发展以及应用矩阵其他科学的发展，人们越来越感到正定矩阵理论的不足，有不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。由于理论和统计，微分方程，经济学等实际问题的需要，国内外都有很多文章研究了各种类型的广义正定矩阵[1-15]，并取得了一些重要结果。本文在这些研究的基础上，进一步研究了采用“乘积对称化”技术对复Hermite(实对称)正定矩阵所作的推广，给出了这类广义正定矩阵的一些性质以及与稳定矩阵的关系。此外，还给出了一些容易忽视的需要注意的事项。对于每条性质以及每个注意事项，都给出了详尽的证明过程。
关键词 正定矩阵,广义正定矩阵,稳定矩阵。
一 引言
正定矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位，在实际中有非常广泛的应用。它在几何学，物理学，概率论以及最优化理论等诸多学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩阵的其他学科的发展，越来越感觉到不能满足需要，于是，有不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。
。仅就实矩阵而言，正定矩阵的概念有过多次推广，丰富了正定矩阵的理论，取得了许多新成果。对正定矩阵的推广有两个方向，一个为对矩阵加法的推广：
因为对任意的，有分解，
其中，
分别称和为的对称分支和反对称分支。如果的对称分支是正定矩阵，称为亚正定矩阵。
另一个方向为采用“乘积对称化”技术对复Hermite(实对称)正定矩阵所作的推广。
本文所要研究的就是第二个方向的这种乘对称类的广义正定矩阵。
正定矩阵的常规定义为：
定义1[6] 设，若,对任意的,都有,则称为Hermite正定矩阵。
定义2[1] 设,若,对任意的,都有,则称为对称正定矩阵。
但是，随着数学本身的发展以及应用矩阵其他科学的发展，人们越来越感到正定矩阵理论的不足，有不少人开始研究未必对称的较为广泛的正定矩阵。1970年,C.R.Johnson在[2]中给出了较为广义的正定矩阵的定义,即
定义3[2] 设,若对任意的,都有正对角矩阵,使,则称为广义正定矩阵。
[2]中指出:这种较为广义的正定矩阵,不仅在理论上，而且在投入产出经济理论中，在
