例谈利用几何法巧解曲线相交问题 竺本君

例谈利用几何法巧解曲线相交问题 竺本君
 圆锥曲线是中学数学的重要内容之一，求解一类直线与圆锥曲线相交问题时，若用代数法（判别式法）解，其计算；量非常大，而通过分析图象特征，利用数形结合思想，则计算量大大减少。
 一：含参数的无理方程问题
 一类含参数的无理方程根据它的实数解情况来讨论参数范围问题，往往可把它转化为讨论直线与曲线的一部分的相交问题。
 例1：方程 =mx+1有且只有一个实数根，求m。
 解：令y=，则 x+y=1  （y≧0）
 它的图象是以原点为圆心，1为半径的圆在x轴上方部分的图象，再令y=mx+1,它的图象是过定点（0，1）斜率为m的直线。如图（1）
 
            图1
 方程 =mx+1有且只有一个实数根，即直线y=mx+1与半圆x+y=1  （y≧0）只有一个交点，由图可得m=0或m>1或m<-1
 例2：方程x+m=有两个解，求m的取植范围
 解：令y=，则 x+y=1  （y≧0）
 它的图象是以原点为圆心，1为半径的圆在x轴上方部分的图象，再令y=x+m,它的图象是斜率为1截距为m的直线。如图（2）
 
              图2
 由图可得只需求出斜率为1的圆的截距且截距为正，圆心到y=x+m的距离d=r=1得m=,∴1≦m＜
 例3：方程=x+m无解，求实数m的取值范围。
 解：令y=,则x-y=1(y≧0)
 它的图象是以原点为中心，焦点x轴上的双曲线在x轴上及上方部分的图形，再令y=x+m,它的图象是斜率为1截距为m的直线。如图（3）
 
             图3
 方程=x+m无解，即y=x+m与双曲线x-y=1(y≧0)的图象无交点。∴0≦m＜1或m＜-1.
 二：含参数的曲线交点问题
 一类含参数的直线和含参数的圆锥曲线总有公共点问题，若通过分析图形特征，利用数形结合思想确定直线上定点的位置恒在圆锥曲线内，来确定直线和圆锥曲线必有公共点，则可使计算量大大减少。
 例4：若直线y=kx+1与椭圆=1总有公共点，求m的范围。
 解：有题意可得：m＞0且m≠5，直线恒过定点M（0，1），椭圆与y轴正半轴的交点为N（0，）直线与椭圆总有公共点等价于点M在椭圆上或椭圆内。如图（4）
 
        图4
 ∴1≦，m≧1,∴1≦m＜5或m＞5
 例5：不论m取什么实数，直线y=mx+b和双曲线（x-1）-ay=a(a>0)总有公共点，求a,b满足的条件。
 解：直线y=mx+b恒过定点（0，b）
 双曲线（x-1）-ay=a即=1的中心在（1，0），顶点x轴上，要使直线与双曲线总有公共点，则点（0，b）必须在双曲线内或双曲线上。如图（5） 
 
         图5
 双曲线与y轴必有交点，即当x=0时，y=≧0得出0＜a≦1，双曲线与y轴交点为（0，±），∴-≦b≦即|b|≦
 ∴a≦1
 ∴a,b满足的条件为0＜a≦1且a≦1
 例6：已知A（-3，4），B（4，4），若线段AB与椭圆x+=m没有公共点，求正数m的取值范围。
 解：分两种情况
当线段AB在椭圆外时如图（6）只需要椭圆与 y轴正半轴的交点
在线段AB的下方，∴2m<4得出0 当线段AB在椭圆内时，如图7只须点B在椭圆内，
∴4得出m>2
∴由（1）（2）得02