几何解题如何选择思维起点
乐昌新时代学校 袁青
[摘要] 几何解题的系统结构是问题条件→知识和方法→问题目标，解题过程是根据问题条件，利用有关的
知识和方法，进行有计划、有目的、有步骤的逻辑推理活动，要顺利完成这一活动，首要的是选择合理的
思维起点。
[关键词] 思维起点 目标的特征 等量关系 临界位置
一、从题目的条件中寻找思维起点
例 1 如图 1，在△ABC 中，∠B=900，O 是 AB 上一点，以 O 为圆点，OB 为半径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 切
于点 D。又已知 AD=2，AE=1，求 CD 的长。
分析：由题设条件，∠B=90，AC 与圆相切于 D 点，已知长度的线段 AD 和 AE
既是 Rt△ABC 中斜边和一条直角边的一部分，也是圆 O 的切割线的一部分，
所以条件中就蕴伏了连接 OD 构造两个相似的直角三角形的思维起点，一旦连
接 OD，解证的思路便会顺利展开。
二、分析问题目标的特征选择思维起点
例2 Rt△ABC 中有正方形 DEFG，点 D、G 分别在 AB、AC 上，EF 在斜
边 BC 上，求证：EF2=BE·FC。
分析：题目本身已经给出了证明的目标，考察这一目标的特征不发现：
若结论成立，那么 EF/BE=FC/EF，而 DE=EF=FC，于是就不难想到 Rt△BED
∽Rt△GFC
三、从已知命题的结论和解法选择思维起点 B
例3 如图 3，△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上的点，且 FC=5AF，
连 BF 并延长交 AC 于 E，求证：EC=10AE。
分析 题目中 AD 是中线，而 BE 是把 AD 分成 1：5 的一条直线，若囿于
此比值，便给思维带来很大束缚，如果索性把 BE 当作一条动线，它可以
在形内，也可以形外，当然也包括是 AC 边上的中线，就不难想到三角形 B
的重心把中线分成 1：2 的两条线段的续集和证法，必定想到作 CF’//BF
交 FD 的延长线于 F’，利用相似三角形的性质不难证得结果，可见已知
命题的结论和证法对思维起点的选择是何等的重要。
四、抓等量关系选择思维起点
例 4 如图 4，延长圆的内接四边形 ABCD 的两组对边，它们分别相交于 M、N。求证：所成的∠AMD 和∠ANB
的平分线互相垂直。
分析：观察图形，HM 是∠AMD 的角平分线，如果能证∠1=∠2，则就证得 MH⊥EN，
考虑到∠1 是△GNC 的外角，∠2 是△EAN 的外角，∠ANE=∠GNC，这样就可利用①
三角形的外角等于不相邻的两内角和，②圆的内接四边形任一外角等于不相邻的
内角，这两项等量关系，列出三条方程，而顺利找到 MH⊥EN 的充分条件。
五、还原问题的图形选择思维起点
思维起点的选择是建立在分析的基础上的，当分析几何问题的终态图形发生
障碍时，不妨利用恰当的方式还原出问题的初态情景------图形，从中找到思维
起点，我们在计算圆锥形的侧面积时，就是利用这种方法把终态立体图形还原成
初态的平面扇形，使问题从复杂变得简单的。
选择思维起点的方法除上面谈到五种外，还有通过合理的假设，图形等效转
化等方法，由于问题的千差万别，因此解题思维起点的选择就没有一个固定的模式，即使同一个问题，也
存在着几种思维方法，但无论通过哪种思维方法获得解题途径，思维起点的选择很重要，选择不同的思维
起点，解题过程的复杂程度和解题速度不一样，俗话“良好的开端是成功的一半”，只有选择好的思维起点，
解题才能获得快速成功。
