理解数学 发现数学
——新课程下初中数学小文档的指导与思考
温州十四中 厉 洁
摘 要： 新课程注重学生对知识的理解，对学生能力的培养、注重学生与社会生活之间的联系，撰写数学小文档就是一个很有效的方式。在撰写过程中，学生通过回顾自己所学的知识，发现生活中的数学问题，记叙自己理解知识的方式，寻找学习成功或失败的原因。从而加深了对知识的理解和应用，最终促进数学学习能力的培养。
关键词：数学小文档 理解应用 能力培养
为了激发学生学习数学的兴趣，培养学生探索精神，推进“数学家摇篮”工程建设，温州市连续三年举办了初中学生数学小文档比赛活动。引导学生写小文档，就是让学生在学会观察、学会小结、学会研究的过程中“再发现”，加深了学生对知识的理解，对思维方式的优化。如何指导学生撰写初中数学小文档，是摆在数学老师面前的新任务，下面我就结合自己的实践经验和参考他人的指导作品，对如何指导学生撰写初中数学小文档谈谈自己的一些见解。
1 、数学小文档选材的途径
要撰写数学小文档，学生自然先会想写什么内容呢？所以选材是关键。通常，我们从以下几个方面来选取数学小文档的素材。
1.1从课堂学习中选材
课堂是学生学习数学知识的主要阵地。学生在课堂学习时经常会存有某种困惑疑问、精神上的迷茫，在学习之后又有某些新发现、新见解，我们可以指导学生学会捕捉课堂中的灵光闪现，学会捕捉自己的再发现、再拓展、再归纳，把它们及时的记录下来，在课后进行研究，把探究过程中的猜想、尝试、总结整理起来就是一篇小文档了。
也可以让学生记录自己对数学知识的理解或对某个章节整理后的感悟；对解法的选择，对解题思路的阐释，解题过程中运用的思想方法；表达对他人解题思路的看法，对他人解题方法的认可度，提出与他人不同的解题方法，或对他人学习数学某个知识点的建议意见等等。比如可以让学生写以下内容的文档①由一道垂足三角形题引发的思考；②小定义中的大智慧－－方差背后的奥妙；③周长和面积倍半图形存在性的研究；④探索圆的黄金分割；⑤对平行四边形判定的研究；⑥缘起“6174”之谜－－探究“数字黑洞”；⑦ 巧用一题论初中几何常见证法；⑧探讨多边形的稳定性；⑨巧作辅助线，妙解梯形题；⑩高手过招－－诡辩题中见数学严谨性等。
1.2从日常生活中选材
生活离不开数学,数学离不开生活。数学知识源于生活而最终服务于生活。可见数学与日常生活具有紧密的联系，是人们生活、工作和学习必不可少的工具，能够帮助人们更好的探索客观世界，寻找客观规律。比如：计算水电费、计算手机电话费问题、税款的交付问题、利润与成本的比较以及商业往来中的时间安排、人员分配、资金运用等问题，都与数学有关。它不仅包括数、式的运算，还包括推理、分析、判断、选择、估算、统计、绘制图表、数据分析、及空间与图形、优化方案等诸多方面，蕴涵着丰富的数学思想和方法。
因此，教师要培养学生树立数学生活化的观念。要指导学生善于发现，挖掘生活中的数学问题。比如与日常生活有关的素材有①手机收费“全球通88系列套餐”选择的分析；②“优惠酬宾”之最佳购买趣探；③小动作大作用－－谈改装后抽水马桶的节能；④车辆保险与最优方案； ⑤安全疏散模型——数学在生活的应用；⑥体育运动与二次函数的亲密接触； ⑦出操与数学；⑧饮用水的选择；⑨峰谷电合算不合算？ ⑩红绿灯的时间合理吗？等。
1.3从问题探究中选材
亚里士多德有句名言：“思维是从疑问和惊奇开始的。常有疑点，常有问题。才能常有思考，常有创新。”问题是科学研究的出发点，是探究式学习的起点，是开启任何一门科学的钥匙。科学史上的每次重大发现也都是从问题开始的，牛顿的万有引力是从“苹果为什么会落地”开始的。青霉素的发现是弗莱明从“霉菌菌落为什么周围不长细菌” 这个问题开始的。在很多问题的解决过程中都得借助数学这门学科，数学可以有效地描述自然现象和社会现象。
教师可以指导学生选取日常生活中发现的、符合要求的问题进行探究，把它作为小文档的素材，既有利于培养学生的数学应用意识和探究能力，又有利于培养学生的社会责任感。比如可以让学生选取以下内容进行探究①探究使用煤气灶的数学问题；②纸板“糊”纸盒问题的探究；③生活中的概率之探究；④教室日光灯应如何排列更合理；⑤怎样的装填使得纸箱的空间利用率高；⑥茶杯盖为什么是圆的？ ⑦探索网购的秘密；⑧探究黄鱼的价格；⑨探索测量楼高的方法；⑩探索博弈之谜等。
1.4从数学史料中选材
《新课标》指出：“在课外活动小组中，教师还可以向学生提供一些阅读材料，内容可以包括数学在生活中的应用，趣味数学、数学史和数学家的故事、扩展性知识等，用来拓宽学生的学习领域，激发学生学习数学的兴趣。”英国的科学家丹皮尔（W.C.Dampier）也说过：“再也没有什么比科学思想发展的故事更有魅力了。”数学史涉及的内容比较丰富，资料浩瀚，年代久远。它不仅是单纯的数学成就的历史记录，也是数学家克服困难和战胜危机的斗争记录。无理数的发现，勾股定理的证明，方程函数的发展等，在数学史上数不胜数，它们可以帮助学生了解数学创造的真实过程，而这种过程在书本中只是以定理公式的形式出现。
因此在教学中学到相关章节时，教师提供主题——学生分组收集资料——课堂交流。交流材料就可以整理起来成为小文档。比如①勾股定理新发现；②关于作费马点的思考；③斯特瓦尔定理引伸；④有趣德谢尔宾斯基地毯；⑤ 圆周率 的历史；⑥ 正负数和无理数的历史；⑦函数概念的起源、发展与演变；⑧美丽的黄金分割；⑨哥尼斯堡七桥问题；⑩古希腊和中国的割圆术等。
2 、数学小文档的步骤
除了选材之外，其他环节也比较重要，我把指导的过程分为五个步骤进行：“选材——研究——撰写——修改——定稿”。
选材，就是选取小文档的素材，指导学生学会捕捉课堂上的再发现、再拓展、再归纳，学会从日常生活中、从问题探究中、从数学史料中收集素材；研究，学生根据自己的学习情况选择各自的数学小文档的素材，猜想、尝试、探究；撰写，就是将自己的研究过程记录下来，写成一篇小文档；修改，把自己写好的小文档经过教师的指导或与同学之间互相交流、合作、讨论或自己再探讨再修正，不断提升数学小文档的科学性、可读性、严谨性。这里指的修改不是语文作文的修改，它不仅要着眼于写字、词汇表达、文章结构，更要着重于对数学问题的再发现、再尝试、再探究；定稿，把撰写的小文档在全班面前展示，看是否还存有争议，并最终确定下来。
3 、数学小文档的类型
经过近两年的研究实践，我觉得可以把学生写的数学小文档分为以下几种类型。
3.1问题探究型
问题探究型小文档，就是学生从社会现象、日常生活中选取存有疑惑的，有意义的问题进行探究并最终解决了实际问题，把自主探索过程中步骤、方法、结果以文档的形式记录下来。如王亦尘同学撰写的《使用煤气灶的数学问题》摘要（选自《学生时代》）：
实验目的：（1）煤气耗量与煤气灶电子打火开关旋钮的开度有无定量关系，是何种关系。
（2）旋钮通常在什么开度下，煤气耗量最省。
（3）如何正确使用煤气灶。
实验器具：煤气表、煤气灶、烧锅、量水瓶、秒表、温度计、温度计支架
操作过程：（1）锅灶预热。在锅中假如适量自来水，烧开后倒净。
（2）将水倒入锅中，读取并记录煤气表读数，点燃煤气到某开度按下秒表。
（3）水温到100℃停止加热，按停秒表，记录煤气表读数和加热时间。
（4）开度依次增加15°，重复步骤（2）（3）
实验结论：
（1）在相同条件下煮沸相同量的水，煤气耗量与煤气点火旋钮开度有确定的定量关系。当旋钮开度为105°时，烧开1650毫升的水所耗用的煤气量最多17升；此时煤气流量也最大为0.06升/秒。
（2）实验表明，30°～45°和135°～150°煤气耗量最少，是最佳开度。
（3）实验表明，在相同条件下煮开1650毫升的水，煤气耗量的最大值比最小值多9升，比相对应的9次实验耗量煤气的平均值（约11.2升）多约80%，由此可见，减小煤气流量，适当延长加热时间，可以收到显著的节气效果。
3.2方法罗列型
方法罗列型小文档，就是学生把自己在数学学习中自己想到的，从他人身上学到的各种解题思路、解题方法，或各种题目类型一一罗列出来，供大家参考与探讨。如郑铮同学撰写的《勾股之妙——探究证明勾股定理的几种方法》摘要：
数学家赵爽的证明方法（图1）：c2=（b-a）2+4×1/2ab即a2+b2=c2；
面积法1（图2）：4×1/2ab+c2=(a+b)2即a2+b2=c2；
面积法2（图3）：(a+b)2÷2=2×1/2ab+1/2c2 即a2+b2=c2；
面积法3（图4）：甲的面积＝乙的面积＋丙的面积 ，即c2 ＝ a2 ＋ b2
面积法4（图5）：SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2 = a2+ b2．
相加全等法（图6）:边长为b的正方形面积+边长为a的正方形=边长为c的正方形的面积，即 a2 + b2= c2
相减全等法(图7)：S区域1+S区域2+S区域3=S区域4+S区域5+S区域6即 c2 - b2 = a2
相似法（图8）：∵c/b=b/m，c/a=a/n,∴cm=b2 cn=a2即a2+b2=c2
3.3总结反思型
总结反思型小文档，就是学生在学习了一些知识之后对其题目特征、解题思路、解题途径等方面进行总结并反思，产生自己独特的见解，优化的思想方法，并最终对知识进行再次建构。如刘露露同学撰写的《小小的整理 大大的收获》摘要：
有理数的加法要点：①：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。②：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③：互为相反数的两数相加其和为零。④：一个数同零相加，仍得这个数。
典型错误：①同号两数相加，如计算：（1）（-4）+（-2）=-2②异号两数相加，如（+3）+（-4）=1
学习对策：①通过实际意义理解。如东东从家中出发，先去同学家向东走了3千米时，接着他又想去趟书店，向西走了4千米时，问他现在在什么位置？由平时生活的体验容易得出：向西走的路程比向东走的路程多，结果东东在家的西面，距离家1千米处。设东为正，向西为负，转化为算式就是（+3）+（-4）=-1
②通过数轴理解
即（+3）+（-4）=-1
③通过法则理解。先判断类型，一定要“先确定符号，再计算绝对值”。
3.4观察欣赏型
观察欣赏型小文档就是学生以欣赏的态度对待数学学习过程中观察到的各种发现，各种体验，把这种发现和体验以小文档的形式表达出来与别人分享。如余韵同学撰写的《数学 ，你可真美》摘要：
数学“金字塔”是很多数学家根据埃及金字塔，狡尽脑汁创想出来的。它们的活泼生动，给我们留下了深刻的印象。例如这个数学“金字塔”（图9）包含了数学的精华，数学的美。
图10和图11是“毕达哥拉斯树图形和 “螺旋线”图形。欣赏着这些图形你会感觉到新鲜优美，线条自然流畅，意境美妙和谐，令人赏心悦目.并且你会发现数学的魅力不仅在于它本身的艺术美.而且还蕴涵着丰富的数学知识。
3.5生活联系型
生活联系型小文档，是指学生结合自己的生活体验，用数学知识来解决实际生活中遇到的事情，用数学的眼光看待生活，挖掘生活中的数学问题。如林毅同学撰写的《学好数学 做生活的有心人》摘要：
例1.某学校想为每名职工买一个电热水壶，采购员获得的信息是：甲乙丙三家商场均有销售同一个牌子的电热水壶，并且各有自己的优惠办法：甲商场每个电热水壶定价100元，九折，买10个以上可以打8折，买50个以上可以打7折；乙商场每个水壶定价90元，九折，买10个以上打八五折，买50个以上打8折；丙商场每个电热水壶定价78元，但不能打折。究竟哪家商场买更合算？
这个和你要多少壶有关系的 因为要的多就有打折。
甲买一个要100元/个，买10个以上是80元/个，买50个以上是70元/个；
乙买一个要90元/个，买10个以上是76.5元/个，买50个以上是72元/个；
丙买一个要78元/个，买10个以上是78元/个，买50个以上是78元/个。
例2. 某市电力部门实行两种电费计价方法.方法一是使用"峰谷电':每天8点至22点用电每千瓦时0.56元("峰电'价);22点到次日8点每千瓦时0.28元("谷电'价);方法二是不使用"峰谷电':每千瓦时均为0.53元.如果小林家每月总用电量为140千瓦时,那么,当"峰电'用量为多少时,使用峰谷电比较合算?
解：当“峰电”用量为x时,使用“峰谷电”比较合算。
答：当“峰电”用量小于125时,使用“峰谷电”比较合算。
就像这两个例题所展示的这样，通过数学计算比较出三家超市的优惠措施，从而选择了最省钱的一种方案，第二题中则是通过一元一次不等式的知识，得出了在什么情况下选择峰谷电会比较省钱，因此数学可以和生活紧密结合在一起，如果你留心了这些，就会成为一个生活的有心人。
3.6感悟体验型
感悟体验型小文档，就是学生把平时的数学学习中带有独特感悟的认知、发现在小文档中加以记录。如诸冉彤同学撰写的《数学，我要睁大眼睛看你》摘要：
数学有时就像是个调皮的精灵，抛出一些似是而非的表象，如果我们不睁大眼睛，不勤于思考，就容易上当或走弯路。在我经历了“爸爸让我分杨梅”、“商品的价格先升10%，又降10%，问最后的价格是升了还是降了？”等几件事情之后，我深刻地认识到：拿到题目要“宁停三分”，“不抢一秒”，要在已有知识和解题经验基础上，译字逐句仔细审题，细心推敲，切忌题意不清，仓促上阵。仔细审题，看清楚题目给我们的条件，仔细思考后再解题，这样，我们的成功率就大大增加了。
3.7建议意见型
建议意见型小文档，就是学生把自己对一些问题的思考和认识以小文档的形式向老师和同学提出合理化的建议和意见，以优化教师的“教”和学生的“学”。 如徐婷婷同学撰写的《分类讨论让我们思想缜密》摘要：
几年的初中数学学习，我们无意中一直体验着分类讨论给我们带来的便利，在绝对值中、在函数中、在一元二次方程中、在三角形中、在四边形中、在圆中它都有着广泛的应用。它使我们的思想越来越缜密，考虑问题越加周到。我们凭借着它的帮助，一步步攀登数学的高峰。我们要牢记并掌握，多多培养自己分类讨论的能力，用它开启我们未来的未知之门。无论何时何地，我们都要善于观察，善于发现，枯燥的数字中也许会带给你意想不到的收获。还有许多的数字和字母铺就着我们明天的路，一起带上“分类讨论”这个锦囊出发吧，相信我们能够运用它，让数字、字母尽在我们的掌控之中！
4、数学小文档的功能
通过数学小文档我们看到，学生在数学交流、数学表达、数学反思、数学创新等方面都有长足的进步，加深了学生对知识的理解，对思维方式的优化，在情感、态度、价值观的良性发展等方面产生了深刻的变化。
鼓励学生学数学小文档不仅可以提高学生的学习成绩，还可以培养学生的学习兴趣、思想方法和积极的探索精神。在曾经发表的学生小文档前面看到“编者”是这么评价的：“很多人以为，发明、发现应是科学家的事情，最起码也应是成人的事情，其实不然…从这些学生的数学小文档中给我们一点启示，让我们领略到了孩子们坚持不懈的决心，不怕困难的毅力。再仔细品味一下，更觉得执着、专注是我们成功的制胜法宝。”
数学小文档为我们打开了一条“学生理解数学、发现数学”的大道，为学生开启了一扇通往“学会观察、学会研究”的大门，使我们有机会倾听学生学习数学的心声，从而帮助学生反思数学学习的过程，促进数学学习能力的发展，形成基于学生数学理解上的发展性评价。新课程下，我们只有把“数学小文档”和课堂学习以及学生的学习、生活结合起来，数学小文档才能起到更好的育人功能。
5、结束语
目前，我们学校很多教师都有自己的博客并应用于教学工作，而我还没建立自己的博客。我想接下来利用自己的博客，发表学生的小文档，让所有浏览博客的读者都来欣赏学生的“作品”，从而提升学生的成就感。另外，还可以让学生上来发表意见，看是否还存有争议，让学生之间互相交流、讨论，对小文档进行再探讨再修正，进一步的提升小文档的严谨性和科学性。
参考文献
1 卢万兵,等.谈“数学课题学习”课程资源的开发.中学教学参考，2009，1-2
2 符永平.课堂革命:从”勾股定理是中国的?”说起. 中学教学参考，2008，6
