论非欧几何与欧式几何之别

论非欧几何与欧式几何之别

论非欧几何与欧式几何之别
[摘要] 欧式几何是在公元前3世纪由古希腊数学家欧几里德，总结前人的公认的几何定理加以推导而建立的，其在数学发展史中具有重要意义。在其后人的不断论证其第五公设成立的可行性中又创建了非欧式几何。非欧式几何以罗氏几何为主，其包含公理除平行公理外，其他公里均与欧式几何相同。通过对比在双曲几何的Riemann模型中，讨论测地线和测地圆周的几何性质，与欧氏空间中的直线和圆周的几何性质进行比较，最终阐明非欧几何与欧氏几何的内在差别。
[关键词] 双曲几何测地线测地圆周欧式几何非欧式几何
一：欧式几何发展及其内部性质
1.1欧式几何的建立
欧氏几何是欧几里德几何学的简称，是几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位。
1.2欧式几何的特点及其核心
在其欧式几何公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
平行公理,也就是第五公设,是由欧几里德确定的,即经过平面外一点有且只有一条直线直线与已知直线平行”它与三角形内角和等于180度等价.但这已经是有直线平行的概念了
n维非欧几何里的直线在n+1维欧氏空间里的看是弯的(被称为外曲率),如球面(是二维面)上的短程线(即直线)周长在三维空间里看就是弯曲的
n维非欧几何里的线/面表现出不同于n维欧氏空间的性质决定于该空间的弯曲性(被称为内曲率),是通过一矢量绕闭合曲线平移后的变化定义的(变化为零即为维欧氏空间),该变化量与三角形内角和直接相关
1.3欧式空间的概念

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